داستان دو هزار سال تردید در هندسه؛ از مثلث‌های عجیب تا جهان خمیده اینشتین

از مدرسه یاد گرفته‌ایم که مجموع زوایای هر مثلث 180 درجه است. اما اگر بگوییم می‌توان مثلثی رسم کرد که هر سه زاویه‌اش 90 درجه باشد، چه؟ شاید در نگاه اول غیرممکن به‌نظر برسد، ولی چنین مثلثی وجود دارد؛ فقط باید آن را روی سطح کره رسم کنیم. همین مثال ساده نشان می‌دهد قواعد هندسه همیشه آن‌طور که تصور می‌کنیم عمل نمی‌کنند. این مسئله به یکی از طولانی‌ترین بحث‌های تاریخ ریاضیات گره می‌خورد، بحثی که از اصل پنجم اقلیدس و مسئله خطوط موازی آغاز شد، بیش از دو هزار سال ادامه یافت و سرانجام به پیدایش هندسه نااقلیدسی انجامید. این کشف، درک ما از هندسه و ساختار فضا را تغییر داد و راه را برای شکل‌گیری نظریه نسبیت عام اینشتین و توضیح گرانش بر پایه خمیدگی فضا-زمان هموار ساخت. مردی که می‌خواست ریاضیات را از نو بسازد اقلیدس، هندسه را اختراع نکرد. پیش از او هم ریاضیدانان درباره خط، زاویه، دایره و مثلث چیزهای زیادی می‌دانستند. کاری که اقلیدس حدود 300 سال پیش از میلاد در اسکندریه انجام داد، این بود که این دانسته‌ها را در چارچوبی منظم قرار داد؛ چارچوبی که در آن هر قضیه باید با استدلالی روشن از چند اصل اولیه به‌دست می‌آمد. اما برای اثبات یک قضیه از کجا باید شروع کرد؟ فرض کنید می‌خواهیم ثابت کنیم مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است. برای اثبات این قضیه، معمولاً از یکی از رأس‌های مثلث خطی موازی با ضلع مقابل رسم می‌کنیم. سپس با کمک زاویه‌های متناوب داخلی نشان می‌دهیم که مجموع سه زاویه مثلث برابر با 180 درجه است. اما در این استدلال، وجود یک خط موازی را از پیش پذیرفته‌ایم؛ فرضی که خودش نیاز به توضیح دارد. از کجا معلوم که از یک نقطه خارج از یک خط، دقیقاً یک خط موازی با آن می‌گذرد؟ اقلیدس در کتاب سیزده‌ جلدی اصول، هندسه را بر پنج اصل بنا کرد. چهار اصل اول چندان بحث‌برانگیز نبودند: می‌توان دو نقطه را با پاره‌خطی مستقیم به هم وصل کرد، پاره‌خط را امتداد داد، با مرکز و شعاع مشخص دایره رسم کرد و همه زاویه‌های قائمه با هم برابرند. اما اصل پنجم به سادگی چهار اصل دیگر نبود. اقلیدس در این اصل توضیح می‌داد که اگر خطی دو خط دیگر را قطع کند و مجموع زاویه‌های داخلی یک طرف آن کمتر از 180 درجه باشد، آن دو خط در صورت امتداد، در همان طرف به هم می‌رسند. این گزاره برخلاف اصول قبلی، هم بیان پیچیده‌تری داشت و هم درستی آن به‌سادگی قابل پذیرش نبود. همین موضوع تردیدی جدی ایجاد کرد: چرا چیزی که شاید بتوان آن را اثبات کرد، باید از ابتدا به‌عنوان یک اصل پذیرفته شود؟ اصل پنجم اقلیدس؛ اگر مجموع دو زاویه داخلی α و β کمتر از 180 درجه باشد، دو خط با امتداد یافتن در همان سمت یکدیگر را قطع می‌کنند. ریاضیدانان پس از اقلیدس معتقد بودند که اصل پنجم، برخلاف چهار اصل دیگر، بیشتر به یک قضیه شباهت دارد و باید بتوان آن را اثبات کرد. به‌همین‌دلیل، نسل‌های مختلفی از ریاضیدانان تلاش کردند با تکیه بر چهار اصل اول، درستی آن را نشان دهند. این تلاش‌ها بیش از دو هزار سال ادامه داشت، اما هیچ‌کدام به اثبات معتبری نرسید. در بسیاری از برهان‌های پیشنهادی، فرضی به کار رفته بود که معادل اصل پنجم بود؛ یعنی ریاضیدانان، بی‌آنکه متوجه باشند، در جریان اثبات همان چیزی را پذیرفته بودند که می‌خواستند ثابت کنند. نسخه چاپی کتاب اصول اقلیدس مسئله‌ای که با اثبات حل نشد یکی از راه‌هایی که ریاضیدانان برای بررسی اصل پنجم در پیش گرفتند، برهان خلف بود. در این روش، به جای اثبات مستقیم یک گزاره، خلاف آن را فرض می‌کنیم و نشان می‌دهیم که این فرض به تناقض می‌رسد. اگر چنین تناقضی پیدا شود، فرض اولیه نادرست است و گزاره موردنظر اثبات می‌شود. اما این روش در مورد اصل پنجم نتیجه‌ای نداشت. ریاضیدانان با کنار گذاشتن این اصل، به روابط و شکل‌هایی می‌رسیدند که با هندسه آشنای آن‌ها تفاوت داشت، ولی پیدا کردن تناقض در این نتایج به این سادگی نبود. عمر خیام نیز در قرن پنجم هجری به بررسی این مسئله پرداخت. او چهارضلعی‌هایی را مطالعه کرد که دو ضلع برابر و عمود بر یک ضلع مشترک داشتند. خیام با بررسی زاویه‌های دیگر این چهارضلعی‌ها و حالت‌های مختلف آن‌ها، تلاش کرد به اثبات اصل توازی برسد. اگرچه او به نتیجه موردنظر نرسید، بررسی‌هایش بعدها در تاریخ پیدایش هندسه نااقلیدسی اهمیت پیدا کردند. چهارضلعی ساکری؛ دو ضلع جانبی برابر و عمود بر قاعده‌ هستند و دو زاویه بالایی نیز با یکدیگر برابرند (α = β).  در این تصویر، حالت اقلیدسی با زاویه‌های 90 درجه نمایش داده شده است. با وجود این تلاش‌ها، اثبات اصل پنجم همچنان ناموفق ماند. حتی زمانی که ریاضیدانان خلاف آن را فرض می‌کردند، نمی‌توانستند از این فرض به تناقضی قطعی برسند. این بن‌بست سرانجام توجه‌ها را به احتمال دیگری جلب کرد: شاید اصل پنجم را نتوان از چهار اصل دیگر نتیجه گرفت و بتوان با کنار گذاشتن آن، هندسه‌ای ساخت که قواعدش با هندسه اقلیدسی تفاوت داشته باشد. در قرن نوزدهم، بررسی همین احتمال به پیدایش هندسه نااقلیدسی انجامید. جوانی که به هشدار پدرش گوش نداد در اوایل قرن نوزدهم، «یانوش بویایی» (János Bolyai)، ریاضیدان جوان مجارستانی، بررسی مسئله خطوط موازی را آغاز کرد؛ مسئله‌ای که پدرش، «فارکاش بویایی» (Farkas Bolyai)، سال‌های زیادی برای حل آن وقت گذاشته بود، بی‌آنکه به نتیجه برسد. فارکاش که دشواری این مسئله را به‌خوبی می‌شناخت، در نامه‌ای به پسرش هشدار داد که از ادامه این تحقیقات دست بکشد. بااین‌حال، یانوش تصمیم گرفت کار خود را دنبال کند. او به جای تلاش برای اثبات اصل پنجم، فرض دیگری را بررسی کرد: اگر از نقطه‌ای خارج از یک خط راست، بتوان بیش از یک خط رسم کرد که هیچ‌گاه خط اول را قطع نکنند، چه می‌شود؟ در هندسه اقلیدسی چنین چیزی ممکن نیست، اما یانوش فهمید با این فرض می‌توان قضایا و روابط هندسی متفاوتی به‌دست آورد، بدون آن‌که میان آن‌ها تناقض آشکاری وجود داشته باشد. بنابراین، مسئله‌ای که قرن‌ها تنها یک پاسخ پذیرفته‌شده داشت، از زاویه تازه‌ای بررسی شد. در همان دوران، «نیکلای لوباچفسکی» (Nikolai Ivanovich Lobachevsky)، ریاضیدان روس، مستقل از یانوش به نتایج مشابهی رسیده بود و یافته‌های خود را در سال 1829 منتشر کرد. یانوش نیز تحقیقاتش را در سال 1832، در قالب ضمیمه‌ای بر کتاب پدرش به چاپ رساند. «کارل فریدریش گاوس» (Carl Friedrich Gauss)، ریاضیدان آلمانی، پیش از بویایی و لوباچفسکی به نتایج مشابهی رسیده بود، اما تصمیم گرفت یافته‌هایش را منتشر نکند. وقتی نوشته بویایی به دستش رسید، فهمید که این ریاضیدان جوان نیز مستقل از او به همان نتایج دست یافته است. بویایی و لوباچفسکی با کنار گذاشتن اصل پنجم اقلیدس، راه را برای پیدایش هندسه هذلولوی باز کردند. در این هندسه، از نقطه‌ای خارج از یک خط راست می‌توان بی‌نهایت خط رسم کرد که هیچ‌کدام خط اول را قطع نکنند. مجموع زوایای مثلث نیز دیگر 180 درجه نیست، بلکه همیشه کمتر از آن است. اهمیت این کشف در آن بود که کنار گذاشتن اصل پنجم اقلیدس، برخلاف تصور رایج، لزوماً به تناقض نمی‌انجامید. بعدها ریاضیدانان با ارائه مدل‌های ریاضی نشان دادند که اگر هندسه اقلیدسی از نظر منطقی سازگار باشد، هندسه هذلولوی نیز سازگار خواهد بود. نمایش یک مثلث در مدل دیسک پوانکاره از هندسه هذلولوی؛ در این هندسه، مجموع زاویه‌های داخلی مثلث کمتر از 180 درجه است. اگر خط راست، راست به‌نظر نرسد چه؟ برای درک تفاوت هندسه اقلیدسی با هندسه‌های نااقلیدسی، باید به یکی از ساده‌ترین مفاهیم هندسه برگردیم: خط راست. روی یک صفحه صاف، کوتاه‌ترین مسیر میان دو نقطه، پاره‌خط مستقیمی است که آن‌ها را به هم وصل می‌کند. اما آیا چنین چیزی روی سطحی خمیده، مانند کره هم درست است؟ فرض کنید مورچه‌ای می‌خواهد بدون جدا شدن از سطح توپ، از نقطه‌ای روی یک توپ به نقطه دیگری برسد. خط مستقیمی که این دو نقطه را در فضا به هم وصل می‌کند، معمولاً از داخل توپ می‌گذرد و مورچه نمی‌تواند از آن عبور کند. پس باید کوتاه‌ترین مسیر ممکن را روی خود سطح پیدا کند. در هندسه، به مسیرهایی که روی یک سطح خمیده نقش خط راست را دارند، ژئودزیک می‌گویند. این مسیرها بین نقاط نزدیک به هم کوتاه‌ترین راه هستند، اما در فاصله‌های طولانی لزوماً کوتاه‌ترین مسیر ممکن نیستند. روی کره، ژئودزیک‌ها کمان‌هایی از دایره‌های عظیمه‌اند؛ دایره‌هایی که مرکز آن‌ها با مرکز کره یکی است. خط استوا نمونه‌ای از این دایره‌هاست و هر دو نصف‌النهار مقابل هم نیز یک دایره عظیمه تشکیل می‌دهند. حالا می‌توانیم به همان مثلث عجیب ابتدای داستان برگردیم؛ مثلثی که هر سه زاویه آن 90 درجه است. فرض کنید از نقطه‌ای روی خط استوا، در امتداد یک نصف‌النهار به قطب شمال برویم. سپس از نصف‌النهار دیگری که 90 درجه با نصف‌النهار اول اختلاف دارد، به استوا بازگردیم و در امتداد خط استوا به نقطه آغاز برسیم. مسیری که طی کرده‌ایم، یک مثلث کروی می‌سازد که هر سه ضلع آن روی دایره‌های عظیمه قرار دارند. دو زاویه مثلث روی خط استوا قائمه هستند و زاویه رأس آن در قطب شمال نیز 90 درجه است. بنابراین، مجموع زاویه‌های این مثلث به‌جای 180 درجه، برابر با 270 درجه خواهد بود. 90° + 90° + 90° = 270° اما چطور ممکن است مثلثی سه زاویه قائمه داشته باشد، درحالی‌که همیشه به ما گفته‌اند مجموع زوایای مثلث 180 درجه است؟ پاسخ در تفاوت سطحی است که مثلث روی آن رسم شده است. در هندسه اقلیدسی، مجموع زوایای مثلثی که اضلاع آن پاره‌خط‌های مستقیم روی یک صفحه تخت باشند، همواره 180 درجه است. اما مثلث ما روی سطح کره قرار دارد و اضلاع آن بخشی از مسیرهای ژئودزیک هستند. در واقع، همان‌طور که مجموع زوایای مثلث در هندسه هذلولوی کمتر از 180 درجه است، در هندسه کروی این مجموع از 180 درجه بیشتر می‌شود. هیچ‌یک از این نتایج به معنای نادرست بودن هندسه اقلیدسی نیست؛ تفاوت در اصول و ویژگی‌های فضایی است که هر هندسه بررسی می‌کند. تفاوت سه هندسه اقلیدسی، کروی و هذلولوی را می‌توان با مفهوم انحنا توضیح داد. در هندسه اقلیدسی، فضا تخت و انحنا صفر است و مجموع زوایای هر مثلث 180 درجه می‌شود. در هندسه کروی، انحنا مثبت است و مجموع زوایای مثلث از 180 درجه بیشتر می‌شود. درمقابل، هندسه هذلولوی انحنای منفی دارد و مجموع زوایای مثلث‌های آن همواره کمتر از 180 درجه است. چگونه می‌توان فضایی بی‌نهایت را در یک دایره جا داد؟ هندسه کروی را می‌توان روی سطح یک توپ تصور کرد، اما نمایش هندسه هذلولوی به این سادگی نیست. یکی از راه‌های نمایش آن، مدل دیسک پوانکاره است که در آن، صفحه‌ای بی‌نهایت درون یک دایره به تصویر کشیده می‌شود. اگر این دایره را با مثلث‌های هم‌اندازه هذلولوی بپوشانیم، می‌بینیم که مثلث‌ها هرچه به مرز دایره نزدیک‌تر می‌شوند، کوچک‌تر به‌نظر می‌رسند؛ درحالی‌که اندازه آن‌ها در هندسه هذلولوی تغییری نکرده است. مرز دایره نیز پایان این فضا نیست، بلکه در فاصله‌ای بی‌نهایت قرار دارد و نمی‌توان با پیمودن مسافتی محدود به آن رسید. کاشی‌کاری هندسه هذلولوی در مدل دیسک پوانکاره؛ مثلث‌ها با نزدیک شدن به مرز دایره کوچک‌تر دیده می‌شوند، اما اندازه آن‌ها در هندسه هذلولوی یکسان است. مرز دایره نیز در فاصله‌ای بی‌نهایت قرار دارد. این مدل نشان می‌دهد که شکل ظاهری یک فضا لزوماً تمام ویژگی‌های هندسی آن را آشکار نمی‌کند. اما پرسش مهم‌تری نیز وجود دارد: اگر هندسه فقط به صفحات تخت و سطوح خمیده محدود نباشد، آیا ممکن است خود فضای جهان نیز انحنا داشته باشد؟ در میانه قرن نوزدهم، «برنهارت ریمان» (Bernhard Riemann)، ریاضیدان آلمانی، نشان داد که هندسه را می‌توان به فضاهایی با ابعاد بیشتر نیز گسترش داد و انحنای آن‌ها را بررسی کرد. پژوهش‌های او بعدها به یکی از پایه‌های ریاضی نظریه نسبیت عام اینشتین تبدیل شد. از نقشه زمین تا هندسه کل جهان هندسه‌های نااقلیدسی شاید در نگاه اول بیشتر به مسئله‌هایی نظری شباهت داشته باشند، اما کاربرد آن‌ها را می‌توان در چیزهای آشنایی مانند نقشه جهان دید. به‌عنوان مثال، چرا گرینلند در بعضی نقشه‌ها تقریباً هم‌اندازه آفریقا به‌نظر می‌رسد، درحالی‌که مساحت واقعی آن بسیار کوچک‌تر است؟ دلیل این تفاوت آن است که هنگام نمایش سطح کروی زمین روی یک نقشه تخت، نمی‌توان شکل، مساحت و فاصله میان نقاط را هم‌زمان بدون تغییر حفظ کرد. نقشه‌نگاران برای حل این مشکل از روش‌های مختلفی استفاده می‌کنند. بعضی نقشه‌ها زاویه‌ها را حفظ می‌کنند و بعضی دیگر مساحت‌ها را، اما هیچ نقشه تختی نمی‌تواند تمام ویژگی‌های هندسی سطح زمین را بدون تغییر نشان دهد. همین تفاوت را در مسیر پرواز هواپیماها نیز می‌توان دید. همان‌طور که گفتیم کوتاه‌ترین مسیر میان دو نقطه روی سطح کروی زمین، کمانی از یک دایره عظیمه است. به‌همین‌دلیل، مسیری که روی بعضی نقشه‌ها خمیده به‌نظر می‌رسد، ممکن است در واقع کوتاه‌ترین راه میان دو شهر باشد. آیا این تفاوت‌ها فقط به سطح زمین و شکل‌های دوبعدی محدود می‌شوند؟ آیا ممکن است خود فضایی که در آن زندگی می‌کنیم نیز خمیده باشد؟ ریمان در سال 1854 با ارائه دیدگاهی تازه، هندسه را از بررسی سطح‌های دوبعدی فراتر برد. او چارچوبی ریاضی برای مطالعه فضاهای چندبعدی معرفی کرد که انحنای آن‌ها می‌توانست از نقطه‌ای به نقطه دیگر تغییر کند. در چنین فضاهایی، برای اندازه‌گیری فاصله میان دو نقطه، تنها دانستن مختصات آن‌ها کافی نیست؛ باید بدانیم فاصله‌ها و زاویه‌ها در هر بخش از فضا چگونه اندازه‌گیری می‌شوند. ریمان نشان داد که می‌توان این ویژگی‌ها را به‌صورت ریاضی توصیف کرد و انحنای فضا را بدون نیاز به تصور آن در فضایی با ابعاد بیشتر بررسی کرد. این دیدگاه در زمان ریمان بیشتر یک بحث نظری در ریاضیات بود، اما حدود شصت سال بعد، آلبرت اینشتین از همین دستاورد برای تدوین نظریه نسبیت عام و توضیح گرانش بر پایه خمیدگی فضا-زمان استفاده کرد. وقتی گرانش به خمیدگی فضا-زمان تبدیل شد در سال 1907، آلبرت اینشتین به آزمایشی ذهنی فکر کرد که بعدها آن را یکی از مهم‌ترین ایده‌های زندگی خود دانست. تصور کنید شخصی در حال سقوط آزاد است و جسم کوچکی نیز در کنار او رها می‌شود. اگر مقاومت هوا را نادیده بگیریم، هر دو با شتاب یکسانی سقوط می‌کنند. بنابراین، شخص در حال سقوط، جسم را در کنار خود شناور می‌بیند و احساس بی‌وزنی می‌کند. اینشتین از همین مثال ساده به نتیجه مهمی رسید: در محیطی به‌اندازه کافی کوچک، شخصی که در حال سقوط آزاد است، نمی‌تواند با انجام آزمایش‌های محلی تشخیص دهد که تحت‌تأثیر گرانش قرار دارد یا در فضایی بدون گرانش با سرعت ثابت حرکت می‌کند. این اندیشه که به اصل هم‌ارزی معروف شد، یکی از پایه‌های نظریه نسبیت عام را شکل داد. تا آن زمان، فیزیک نیوتنی گرانش را نیرویی می‌دانست که میان اجسام دارای جرم عمل می‌کند. اما اینشتین به توضیح متفاوتی رسید. او در سال 1915 نظریه نسبیت عام را ارائه کرد و نشان داد که جرم و انرژی می‌توانند هندسه فضا-زمان را خمیده کنند و این خمیدگی بر حرکت اجسام اثر می‌گذارد. براساس این نظریه، زمین هنگام گردش به دور خورشید در مسیری حرکت می‌کند که هندسه خمیده فضا-زمان تعیین می‌کند. این مسیر در هندسه فضا-زمان یک ژئودزیک است؛ همان مفهومی که پیش‌تر برای توضیح مسیرهای مستقیم روی سطح‌های خمیده با آن آشنا شدیم. البته فضا-زمان در نظریه اینشتین با سطح خمیده یک توپ تفاوت دارد. ما با ساختاری چهاربعدی روبه‌رو هستیم که سه بعد مکانی و یک بعد زمانی دارد. در این ساختار، زمان نیز مانند فضا در توصیف گرانش نقش دارد و ژئودزیک‌ها لزوماً کوتاه‌ترین مسیر مکانی میان دو نقطه نیستند. یکی از پیش‌بینی‌های مهم نسبیت عام این بود که نور هنگام عبور از نزدیکی اجرام پرجرم، مانند خورشید، تغییر مسیر می‌دهد. در سال 1919، اخترشناسان هنگام یک خورشیدگرفتگی کامل، موقعیت ظاهری ستارگان نزدیک خورشید را بررسی کردند. نتایج این رصد به یکی از نخستین شواهد مشهور در حمایت از نظریه اینشتین تبدیل شد. اما تأثیر گرانش بر مسیر نور، فقط به تغییر موقعیت ظاهری ستارگان محدود نمی‌شود. در سال 2014، اخترشناسان با استفاده از تلسکوپ فضایی هابل، چهار تصویر از یک ابرنواختر دوردست را مشاهده کردند. نور این انفجار در مسیر رسیدن به زمین، از نزدیکی مجموعه‌ای از کهکشان‌های پرجرم عبور کرده بود. گرانش این کهکشان‌ها مسیر نور را خم کرده و باعث شده بود تصاویر متفاوتی از یک انفجار به زمین برسد، پدیده‌ای که عدسی گرانشی نام دارد. چهار تصویر از ابرنواختر رفسدال در عکس تلسکوپ فضایی هابل؛ گرانش کهکشان‌های پرجرم مسیر نور این انفجار را خم کرده و باعث شده است یک ابرنواختر در چهار موقعیت متفاوت دیده شود. دانشمندان با بررسی مسیرهای نور پیش‌بینی کردند که تصویر دیگری از همان ابرنواختر، معروف به «رفسدال» (Refsdal)، مدتی بعد ظاهر خواهد شد. این پیش‌بینی درست از آب درآمد و در دسامبر 2015، تصویر تازه‌ای از انفجار مشاهده شد. به این ترتیب، نور یک انفجار واحد از مسیرهای متفاوتی به زمین رسیده بود و اختلاف زمان رسیدن آن، امکان مشاهده دوباره همان رویداد را فراهم می‌کرد. این پدیده نشان می‌داد که خمیدگی فضا-زمان چگونه می‌تواند هم مسیر حرکت نور و هم زمان رسیدن آن را تحت‌تأثیر قرار دهد. امروزه آثار نسبیت عام را تنها در رصد پدیده‌های کیهانی نمی‌بینیم. حتی سامانه موقعیت‌یابی GPS نیز برای محاسبه دقیق موقعیت ما باید تفاوت سرعت گذر زمان در ساعت‌های ماهواره‌ها و ساعت‌های روی زمین را در نظر بگیرد. گرانش و سرعت حرکت ماهواره‌ها باعث می‌شوند این ساعت‌ها با آهنگ یکسانی کار نکنند و اگر این اختلاف‌ها اصلاح نشوند، خطای موقعیت‌یابی به‌سرعت افزایش می‌یابد. اما خود جهان چه شکلی است؟ تا اینجا دیدیم که گرانش چگونه با خمیدگی فضا-زمان بر حرکت اجسام و مسیر نور تأثیر می‌گذارد. اما آیا این خمیدگی تنها در اطراف اجرام پرجرم وجود دارد یا هندسه خود جهان نیز در مقیاس‌های بسیار بزرگ می‌تواند خمیده باشد؟ این پرسش با خمیدگی فضا-زمان در اطراف ستاره‌ها و سیاه‌چاله‌ها تفاوت دارد. کیهان‌شناسان می‌خواهند بدانند اگر جهان را در مقیاسی بسیار بزرگ بررسی کنیم، هندسه فضایی آن به کدام‌یک از سه حالت اقلیدسی، کروی یا هذلولوی نزدیک‌تر است. یکی از مهم‌ترین سرنخ‌ها برای پاسخ به این پرسش، نوری است که از نخستین دوران شکل‌گیری جهان به ما رسیده است. حدود 380 هزار سال پس از بیگ‌بنگ، جهان به‌اندازه‌ای سرد شد که نور توانست آزادانه در فضا حرکت کند. بقایای آن نور هنوز در سراسر جهان وجود دارد و امروزه آن را به‌نام تابش زمینه کیهانی می‌شناسیم. این تابش تصویری از جهان در حدود 380 هزار سال پس از بیگ‌بنگ به ما نشان می‌دهد. دمای آن در بخش‌های مختلف آسمان تفاوت‌های بسیار جزئی دارد و همین تفاوت‌ها اطلاعاتی درباره ساختار جهان در خود دارند. دانشمندان با بررسی اندازه این نواحی و مقایسه آن‌ها با محاسبات ریاضی، می‌توانند تشخیص دهند که هندسه فضایی جهان تخت است یا انحنا دارد. نقشه تابش زمینه کیهانی ثبت‌شده توسط تلسکوپ پلانک نتایج این بررسی‌ها، از جمله داده‌های تلسکوپ فضایی پلانک در کنار اندازه‌گیری‌های دیگر، نشان می‌دهند که هندسه فضایی جهان در مقیاس‌های بسیار بزرگ، با حالت تقریباً تخت سازگار است. بااین‌حال، این نتیجه به معنای آن نیست که انحنای جهان دقیقاً صفر است. ابزارهای اندازه‌گیری محدودیت‌هایی دارند و هنوز نمی‌توان احتمال انحنای بسیار اندک را کاملاً کنار گذاشت. از طرفی، تخت بودن فضا نیز لزوماً به معنای بی‌نهایت بودن جهان نیست؛ زیرا هندسه فضا و شکل کلی آن دو موضوع متفاوت‌ هستند. بنابراین، با وجود پیشرفت‌های چشمگیر کیهان‌شناسی، هنوز نمی‌دانیم جهان در تمام گستره خود چه ساختاری دارد و آیا فضایی که می‌شناسیم، بخشی از جهانی با ابعاد نامحدود است یا ساختاری محدود اما بدون مرز دارد. آیا اقلیدس اشتباه می‌کرد؟ پس از تمام این کشف‌ها، شاید این پرسش پیش بیاید که آیا هندسه‌ای که در مدرسه آموخته‌ایم، اشتباه بوده است؟ خیر. هندسه اقلیدسی همچنان معتبر است و در بسیاری از محاسبات روزمره، از ساختمان‌سازی تا مهندسی، به‌خوبی کاربرد دارد. هندسه نااقلیدسی نیز قرار نبود جای آن را بگیرد، بلکه نشان داد هندسه‌های دیگری هم می‌توانند وجود داشته باشند که هرکدام بر اصول متفاوتی استوارند. اما شاید مهم‌ترین درس این داستان، فراتر از هندسه باشد. ریاضیدانان بیش از دو هزار سال تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را اثبات کنند، تا اینکه سرانجام به‌جای جست‌وجوی همان پاسخ قدیمی، پرسش تازه‌ای مطرح کردند: اگر این اصل درست نباشد، چه می‌شود؟ همین تغییر نگاه، راه را برای کشف هندسه‌های تازه باز کرد و بعدها به درک عمیق‌تری از ساختار جهان انجامید. داستانی که با تردید درباره دو خط موازی آغاز شد، سرانجام به پرسشی درباره هندسه کل جهان رسید.