ریاضیات تغییر کرده است. بیایید مثل آن رفتار کنیم

1 نوامبر 2026 در وبلاگ مهمان , نظر | برچسب ها: فرانک کالگاری | توسط ترنس تائو

[این یک پست مهمان توسط فرانک کالگاری است. این پست وبلاگ در ابتدا با فرمت فایل متفاوتی نوشته شد و با استفاده از هوش مصنوعی تبدیل شد. - تی.]

انتشار بیش از 700 مقاله تحقیقاتی توسط OpenAI در 6 اکتبر، نقطه عطفی در تاریخ ریاضیات بود. هوش مصنوعی اکنون به طور غیرقابل انکاری قادر است در بسیاری از زمینه‌های ریاضیات نقش اساسی داشته باشد. پس چرا برخی از ریاضیدانان اینقدر ناراضی هستند؟

برخی از آن بی توجهی آشکار شرکت های هوش مصنوعی به تمرین ریاضیات است. مقالات OpenAI - علیرغم برخی ایده‌های فوق‌العاده - به طرز فجیعی نوشته شده‌اند و انتظارات جامعه ما را از انتساب نقض می‌کنند. برخی از آنها حتی اشتباه می کنند. ما کنترل بسیار بیشتری بر نحوه استخدام ریاضیدانان، انتشار مقالات و آموزش دانش آموزان داریم تا بر رفتار شرکت های تریلیون دلاری، و این جایی است که تلاش های ما بهتر خرج می شود.

به نظر می رسد بسیاری از واکنش ها این احساس را منعکس می کند که موضوع مورد علاقه آنها مورد حمله قرار گرفته و در حال "توخالی شدن" است. تخلیه اخیر OpenAI به سختی بر مشکلات کلی عملکرد و دوطرفه در برنامه Langlands تأثیر گذاشت. اما حتی اگر هر مسئله ای را در برنامه لانگلند حل کرده بود، تصور اینکه «تئوری اعداد حل شده» باشد، به همان اندازه ساده لوحانه است که بگوییم ساخت جدول تناوبی شیمی را حل می کند.

ریاضیدانان باید بهتر کار کنند و توضیح دهند که وقتی در مورد مسائل اصلی در هر منطقه صحبت می کنیم، صرفا در حال بحث در مورد طبیعی ترین مرزهای درک خود هستیم - و اینکه باز کردن قفل آنها پایان نیست، بلکه اولین قدم برای یافتن زمین های بازی جدید برای کاوش است. البته این کار زمان می برد. من به دنبال حوزه‌هایی از ریاضیات بودم که «سخت‌تر» ضربه خوردند. سخت است که تحت تأثیر ناله هوگو دومینیل-کوپن قرار نگیریم:

هیچ یک از مشکلات باز اصلی که من در طول زندگی حرفه‌ای خود علنا به آن اشاره کرده‌ام (چه در یک سخنرانی، یک سخنرانی، یک مقاله یا حتی یک پیشنهاد کمک مالی) با این اعلامیه دست نخورده باقی نماند. ادعا شده که همه چیز ثابت شده است.

انتظار داشتم تعدادی از آنها را در لیست ببینم. اما نه همه آنها. نه به یکباره نه با چنین بی اعتنایی.

من نمی توانم چیز زیادی در مورد نظریه نفوذ بگویم، اما سابقه تاریخی دیگری وجود دارد که فکر می کنم ریاضیدانان باید به آن توجه کنند. در سال 1972، دن گورنشتاین برنامه ای را برای طبقه بندی گروه های ساده محدود اعلام کرد. پس از انبوهی از فعالیت‌ها در حدود یک دهه، «طبقه‌بندی» توسط گورنشتاین در سال 1983 اعلام شد (تا حدودی زودهنگام، با عدم تکمیل پرونده گروه‌های شبه‌تین برای دو دهه دیگر توسط اشباخر و اسمیت).

طبقه‌بندی گروه‌های ساده محدود از بسیاری جهات موفقیت بزرگی بود، اما از این جهت که - از دوستان و همکاران نظریه‌پرداز گروهم پوزش می‌خواهم - باعث شد تا علاقه زیادی در مورد این موضوع جلب شود، یک شکست بزرگ نیز بود. "مسئله معروف" از بین رفته بود و ریاضیدانان در کل توجه خود را به جای دیگری معطوف کردند. و با این حال، سؤالات بسیار غنی در نظریه گروه های محدود و حتی در مورد خود طبقه بندی باقی مانده است (فقط یکی را نام ببرم: سؤال مورد علاقه جان کانوی این است که چرا گروه هیولا وجود دارد؟).

شاید برای برخی زمینه‌ها، فضای خالی OpenAI شبیه احساس یک نظریه‌پرداز گروهی در سال 1970 باشد، اگر طبقه‌بندی در دفترشان ریخته می‌شد، نه به شکل کاغذهای واقعی، بلکه روی دستگاه تکثیر روح چاپ می‌شد، کمی لکه‌دار می‌شد، سپس به‌طور تصادفی مانند کنفتی در سرتاسر زمین پخش می‌شد.

در حال حاضر، ما به تلاش هایی مانند گورنشتاین، لیون، و سولومون و کار آنها در طبقه بندی تجدید نظر شده نیاز داریم. اگر این تنها کاری بود که باید انجام می‌دادیم، آن وقت یک کار نسبتا ناسپاس بود. اما ما همچنین این مسئولیت را داریم که موضوع را "انجام شد" تلفظ نکنیم، بلکه - با این ابزارهای جدید در دسترس - برای تحقیقات بیشتر آماده است. زمانی که ریاضیدانان از مسیرهای پر پیچ و خم که در اثر ساخت یک دور گذر کهکشانی از دست رفته اند تاسف می خورند، باید بدانند که آن مسیرهای قدیمی هنوز وجود دارند و آنها را جستجو کنند. و وقتی نوبت به ارائه شغل به مردم می‌رسد، باید به این رفتار پاداش دهیم.

وعده هوش مصنوعی و (عدم)-وحدت ریاضیات:

از 15 سالگی می خواستم بدانم چیست. اول، فانتزی دوران کودکی یافتن فرمولی بود که اویلر آن را از دست داد. اما به زودی فرد بیشتر می‌آموزد: چگونه حدس دوره گروتندیک، همراه با درک کافی از هندسه انگیزه‌های مختلط تیت (به دنبال کار دون زاگر، ساشا گونچاروف، فرانسیس براون و دیگران) توضیح ساختاری و حدسی کاملا رضایت‌بخشی از آنچه در جریان است ارائه می‌دهد. غیرمنطقی بودن یا حتی فراتر بودن آن، تنها سایه‌ای از مشکل زیربنایی جالب واقعی است.

اثبات غیرمنطقی بودن آپری سال‌ها به من الهام‌بخش بود، نه به خاطر نتیجه‌گیری‌اش، بلکه به خاطر اینکه چگونه کوچک‌ترین نشانه‌هایی از برخی داستان‌های مخفی مرتبط با توابع جبری و حساب را نشان می‌دهد.

امیدوارم هوش مصنوعی بتواند به ریاضی‌دانان کمک کند تا از جلیقه‌ی محدود شدن توسط اولین حدس طبیعی که نمی‌توانند اثبات کنند بیرون بیایند و روی کشف رازهای عمیق‌تری که در سراسر موضوع ما وجود دارد کار کنند. در سی سال گذشته، پیشرفت انسان در ریاضیات قابل توجه بوده است. اما در عین حال، احساس ناراحتی فزاینده‌ای داشتم. تعداد دفعاتی که ریاضیدانان در تمام سطوح را دیده‌ام که نمی‌توانند حتی اندکی خارج از رشته خود به کسی توضیح دهند که چرا کاری که انجام می‌دهند بسیار ناراحت کننده است.

شیارهای طبیعی حرفه ما بیشتر به سمت تخصص فنی محدودتر از چشم انداز بزرگتر خم شده است. هوش مصنوعی به ما فرصتی شگفت انگیز می دهد تا خودمان را به عنوان ریاضیدان گسترش دهیم.

من سعی کرده ام (نه همیشه با موفقیت) به عنوان یک ریاضیدان گسترده باشم. من از این واقعیت کمک گرفتم که، در حالی که از ۱۷ سالگی می‌دانستم که می‌خواهم در نظریه اعداد جبری و برنامه Langlands کار کنم، در بوته‌های دانشگاه ملبورن بزرگ شدم، جایی که خانه بسیاری از دانشجویان تورستون و توپولوژیست‌های کم‌بعد بود. این بدان معنی بود که من در لیکور شیرین 3 منیفولد هذلولی غرق شدم. این قرار گرفتن به حرفه من کمک زیادی کرده است. مانند هر دو حوزه عمیق ریاضیات، سه منیفولدهای هذلولی و محاسبات بسیار نزدیکتر از آنچه در ابتدا به نظر می رسید به هم مرتبط هستند.

اما هنوز هم متخصص بودن در هر دو کار سخت است، چه رسد به دنبال یک ایده دیوانه کننده با ترکیب آنها. بذار یه لحظه فنی بشم برای هر میدان درجه دوم خیالی، کلاس‌های همسان‌پذیری زیادی از سه منیفولدهای هذلولی فشرده حسابی وجود دارد که توسط جبرهای چهارتایی غیر منشعب نمایه شده‌اند. منیفولدها در هر یک از این کلاس‌های همسان‌پذیری از طریق تجزیه به چهار وجهی هذلولی، عناصری را به وجود می‌آورند، و حجم آنها همیشه مضرب گویا از .

من همیشه این ایده را داشتم که می‌توان عناصر را در این کلاس‌های مقایسه‌پذیری مختلف به‌عنوان شکل‌دهنده نوعی از سیستم هندسی کولی‌واژین («نقاط هگنر») مرتبط با آن تصور کرد، که می‌توان آن‌ها را با برخی نسخه‌های حسابی انتگرال ناشناخته از مکاتبات ژاکه-لنگلند با هم ترکیب کرد. این سوالی نیست که من به دو دلیل دنبالش کرده باشم. اولا، حدس‌های اساسی زیادی وجود داشت که هر نتیجه‌ای که می‌توانستم ثابت کنم مشروط به بسیاری از آنها بود، چیزی که همیشه توسط جامعه ریاضی قدردانی نمی‌شود.

دوم، جمع آوری تمام پیشینه های فنی برای فرموله کردن چنین ایده ای به مقدار زیادی کار پس زمینه نیاز دارد. اکنون، با هوش مصنوعی، موانع برای امتحان چنین مشکلی بسیار کمتر شده است. تلاشی برای اثبات یک قضیه نیست. سعی دارد مسیر کاملا جدیدی را که ممکن است مزخرف باشد یا نباشد کشف کند. مسائل زیادی در ریاضیات وجود دارد که هنوز آنقدر تازه و حیاتی هستند اما قبلا غیرقابل لمس بودند که فرصت نزدیک شدن به آنها بسیار هیجان انگیز است. ما باید جاه طلب تر باشیم و برنامه های تحقیقاتی جسورانه ای ایجاد کنیم که حتی یک سال پیش قابل تصور نبود.

این بدان معنا نیست که همه باید (یا نباید) از هوش مصنوعی استفاده کنند. اما ما باید در مورد آنچه مهم است تجدید نظر کنیم و دوباره تنظیم کنیم. اثبات حدس‌های اصلی، با استفاده از هوش مصنوعی یا موارد دیگر، بخشی از ریاضیات جدید باقی خواهد ماند. اما کار به سمت برنامه های گسترده تر (جدید و قدیمی) و درک ساختاری نقش اساسی تری ایفا خواهد کرد. کریستین سگدی این نکته را مطرح کرد:

ریاضیات به خود می بالد که شایسته سالار است، با احترام عمیق برای کاشفان: افرادی که می توانستند از چیزی که هیچ کس دیگری نمی توانست صعود کند. آن نوع خاص از قهرمانی اهمیت کمتری خواهد داشت، و مهارت های دیگر اهمیت بیشتری خواهند داشت: انتخاب منطقه ای که ارزش کاوش را دارد، هدایت ناوگان هواپیماها، و توضیح آنچه که آنها پیدا می کنند برای بقیه جهان.

من آماده سوار شدن به هواپیما هستم، زیرا می خواهم ببینم آنجا چه چیزی وجود دارد. در عین حال، اضافه می‌کنم که افرادی که قبلا با چشمان بسته روی زمین راه می‌رفتند، هر قدر هم که بلند پرواز کنند، چیزی را تشخیص نمی‌دهند. من هنوز معتقدم که بسیاری از مهارت‌هایی که اکنون ریاضیدانان دارند، نه تنها قابل انتقال هستند، بلکه برای نظم نوین جهانی حیاتی هستند.

تفاوت واکنش بین خوشبین ها و بدبین ها این است که برای بدبین ها بازی تمام شده است. برای خوشبین ها، بازی به تازگی تغییر کرده است. من تصدیق می‌کنم که جنبه‌هایی از فرهنگ ریاضی ما وجود دارد که ما آن‌ها را ارزشمند می‌دانیم که زنده نمی‌مانند، و فقط انسانی است که برای این از دست دادن غمگین باشد. اما اکنون یک ابزار شگفت انگیز جدید برای مطالعه ریاضیات وجود دارد. روی گردانی و گفتن این که جامعه ریاضیات در حال حاضر مهمتر از خود ریاضیات است، اشتباه وحشتناکی خواهد بود.

با وجود همه چیزهایی که همه در این وبلاگ و جاهای دیگر درباره چگونگی درک ریاضیات می‌گویند، باید نگاهی به arXiv بیندازیم تا ببینیم افراد زیادی در حرفه ما با عجله مقالاتی را با کمک هوش مصنوعی تهیه می‌کنند تا «اولین کسانی» باشند که چیزها را ثابت کنند. همانطور که بسیاری دیگر اشاره کرده‌اند، به سرعت بین توانایی تولید برهان‌های بدیع و توانایی نشان دادن درک یا سوق دادن موضوع در جهت‌های جدید و جالب، شکاف وجود دارد.

همانطور که مردم بیشتر و بیشتر نتایج را دریافت می کنند، اعلامیه لیدن بیشتر از نظر نام مورد احترام قرار می گیرد تا روحیه، و به نظر می رسد "کسب و کار طبق معمول" است، مگر با مقیاس زمانی بسیار فشرده تر و تهدید دائمی که بالای سر مردم آویزان شود.

برای من، کسی که یک مسئله ارزشمند را انتخاب می‌کند، به طور کامل با استفاده از هوش مصنوعی به اثبات می‌رسد، آن را کاملا می‌فهمد و از آن برای ایجاد سؤالات یا دستورالعمل‌های جالب بیشتر استفاده می‌کند، سهم ریاضی قابل توجهی داشته است. من به آن شخص اعتبار قابل توجهی می دهم حتی اگر هیچ عنصر جدیدی در مدرک اصلی ارائه نکرده باشد. انتخاب مشکلات باارزش ممکن است در نهایت اهمیت بیشتری نسبت به ارائه مدرک داشته باشد.

وسواس ما نسبت به حدس‌ها باعث می‌شود که کار اکتشافی که پاسخ دادن (یا حتی پرسیدن) این مشکلات را ممکن می‌سازد، بسیار کم‌ارزش کند. ما اکنون با تشویق یا پاداش دادن به عجله برای فشار دادن دکمه برای دریافت هر چه سریعتر این نتایج جدید، در خطر هستیم که این اشتباه را صد برابر کنیم. من همه ریاضیدانان ارشد (با امتیاز تصدی) را تشویق می کنم که به جای استفاده از هوش مصنوعی برای پاسخ به سؤالات موجود، کار ایجاد مشکلات آینده و کشف ایده های جدید را انجام دهند.

اگر شما، به عنوان یک ریاضیدان ارشد، استرس دارید که توسط هوش مصنوعی تحت تأثیر قرار بگیرید، پس به اندازه کافی جاه طلب نیستید.

بخش‌های فکری در نهایت بی‌معنی هستند، مگر اینکه مکانیزمی را برای تأثیرگذاری بر نحوه عمل افراد پیشنهاد کنند. ابزارهایی که قرار است مؤثرترین باشند، اقتصادی هستند تا شعاری. ریاضیدانان به رسمیت شناخته می شوند، ریاضیدانان شغل می خواهند، ریاضیدانان کمک هزینه می خواهند. ابزارهایی که در حال حاضر برای تأثیرگذاری بر این امر داریم، استخدام و پذیرش مقاله در مجلات است.

اجازه دهید چند پیشنهاد ملموس بسیار اساسی و به دنبال آن چند جزئیات ارائه کنم.

همه کارها را طوری ارزیابی کنید که گویی با کمک هوش مصنوعی هستند. استخدام را بیشتر در مورد تعاملات شخصی به جای یک پرونده کاغذی انجام دهید. مصاحبه حضوری با دانشجویان فوق دکترا و فارغ التحصیلان. بیشتر از مجلات مطالبه کنید و آنهایی را که سازگار نیستند رها کنید. در تحصیلات تکمیلی بر گستردگی تأکید بیشتری کنید، اما مهارت های فنی را رها نکنید. سمینارهای بهتری بدهید. مالکیت بیشتری بر نتایج هوش مصنوعی داشته باشید.

نلسون کول سه سال از یکشنبه ها را صرف کشف فاکتورسازی اولیه کرد

در ، این کمک به ریاضیات بود. فاکتورگیری همان عدد با دست می تواند به همان اندازه شاهکار محاسباتی چشمگیر باشد، اما سهم آن در ریاضیات (حتی اگر قبلا شناخته نشده بود) بسیار کمتر خواهد بود، زیرا این کار را می توان در یک سیستم جبری رایانه ای در کمتر از یک ثانیه انجام داد. بدیهی است که هوش مصنوعی در حال تغییر اقتصاد «آسان» یا «سخت» است – قبلا در مورد فروپاشی آینده اقتصاد قضیه بسیار گفته شده است.

با گذشت زمان (شاید به سرعت) حس جدیدی از آنچه که نقش مهمی در ریاضیات باقی می‌ماند، ظاهر می‌شود، چه پرسیدن سؤالات جالب، توسعه برنامه‌های جدید یا چیز کاملا متفاوت. در آینده، دلیلی برای پاداش دادن به یک مقاله صرفا بر اساس نتیجه ای که می تواند توسط ماشین تولید شود، نمی بینم، خواه نبوده باشد یا نباشد. یک اثبات جدید هنوز هم می‌تواند برای ایده‌هایی که معرفی می‌کند، شایستگی اعتبار قابل توجهی داشته باشد، حتی زمانی که نتیجه‌گیری آن از قبل توسط ماشین قابل حصول باشد.

پس چرا از الان شروع نکنیم؟ نکته مهم این است که من فکر نمی‌کنم این به هیچ وجه به این معنی باشد که دسترسی به هوش مصنوعی برای پیشرفت در ریاضیات مورد نیاز خواهد بود - تا زمانی که ما به درک انسان‌ها اهمیت می‌دهیم. در حالی که احساس می‌کنم این بحث‌برانگیزترین توصیه است، همچنین احساس می‌کنم اجتناب‌ناپذیرترین توصیه است. این مستلزم کنار گذاشتن جنبه‌ای از ساختار پاداش ما است که برای مدت طولانی وجود داشته است، اما در عین حال ساختاری که در آینده هیچ معنایی نخواهد داشت.

در حال حاضر، استفاده از هوش مصنوعی یک انگ است و عبارت بسیاری از افشای هوش مصنوعی بیشتر شبیه تلاشی برای به حداقل رساندن سهم دستگاه است. اگر هر مقاله‌ای را به‌عنوان بالقوه با کمک هوش مصنوعی ارزیابی کنیم، باید اصرار داشته باشیم که نویسندگان آن توضیح دهند که چرا ریاضیات جالب است، چه سؤالاتی را مطرح می‌کند و چگونه به موضوع گسترده‌تر متصل می‌شود. آیا ما نمی خواهیم مردم به هر حال این کار را انجام دهند؟

امکان تغییر دادن افراد وجود نخواهد داشت مگر اینکه نحوه ارزیابی افراد را در سطح استخدام تغییر دهیم. کمیته‌های تنبل در گذشته گاهی به یک مقاله JAMS، یک مقاله Annals یا مجموعه دیگری از نشریات اشاره می‌کردند تا نشان دهند که چگونه یک نامزد تاثیرگذار است. من به دنبال روایتی از جایی هستم که می‌خواهید ریاضیات به کجا برود، توانایی فنی برای توضیح اینکه چرا این ممکن است امکان پذیر باشد، توانایی صحبت در مورد بسیاری از زمینه‌های ریاضیات، و سابقه قابل اثباتی از انجام همه این کارها در گذشته. این به هیچ وجه یک ایده جدید رادیکال نیست.

فرآیند استخدام باید بیشتر از یک پرونده کاغذی در مورد تعاملات شخصی باشد.

مصاحبه نه تنها برای مشاغل شغلی، بلکه برای پست های فوق دکترا و دانشجویان فارغ التحصیل نیز باید به یک روش استاندارد تبدیل شود. من مطمئن هستم که همه ما تجربه پذیرش دانشجوی فارغ التحصیل را داشته ایم که «روی نظریه هموتوپی عالی کار می کرد» تا بعد از پذیرش متوجه شویم که نمی تواند همسانی دایره را محاسبه کند.

در همان زمان، من با نامزدهایی در سطح تصدی مصاحبه کردم که در ابتدا درباره آنها تردید داشتم، اما پس از 30 دقیقه مکالمه در دفترم کاملا متقاعد شدم که اینجا کسی است که نه تنها دید عمیقی از ریاضیات دارد، بلکه می تواند این موضوع را به همکاران خود نیز منتقل کند. هنگامی که این رویکرد را در پیش گرفتیم، پس از آن مسئولیت داریم که دانشجویان فارغ التحصیل خود را آموزش دهیم تا بتوانند بهتر با ریاضیات ارتباط برقرار کنند، چیزی که ما باید بسیار جدی تر آن را جدی بگیریم.

توجه داشته باشید که بین دانستن عمیق ریاضیات و توضیح روان آن نیز تفاوت وجود دارد. آنها مرتبط هستند اما مهارت های متفاوتی دارند. در حالت ایده‌آل، من هر دو را می‌خواهم، اما این اولین موردی است که در نهایت ارزش بیشتری برایم قائل هستم.

سیستم مجلات حتی قبل از هوش مصنوعی نیاز مبرمی به اصلاح داشت. مشوق های فعلی ما در حال حاضر تولید ریاضیات افزایشی بیشتر و بیشتر است که فقط سیستم را سیل می کند. بازنگری اساسی مورد نیاز قرار نیست از طریق توافقات اجماع با هیئت های تحریریه اتفاق بیفتد. (آیا می دانید چقدر سخت است که دانشگاهیان در مورد چیزی به توافق برسند؟) پذیرفته شدن توسط یک ژورنال مدت هاست که دیگر تضمینی برای صحت نیست (اگر قبلا چنین بوده است) و به سادگی به عنوان یک نابسنده کیفیت عمل کرده است. من در بالا توضیح دادم که چگونه به نظر من باید نسخه های خطی را در آینده ارزیابی کنیم.

بر این اساس، من می گویم که بخش قابل توجهی از مقالات ارسال شده به arXiv نباید در هیچ کجا منتشر شود. اگر مجلات از یک مقاله از نظر نوشتار، ایده‌ها و نمایش مطالب بیشتری داشته باشند، من فکر می‌کنم که این امر زندگی را برای همه - سردبیران، داوران، و حتی در نهایت نویسندگان بهتر خواهد کرد.

اگر هیئت‌های تحریریه قادر به تنظیم نباشند، پس یک ایده رادیکال‌تر این است که مجلات را (حداقل موقتا) به طور کامل کنار بگذارند. (من هنوز جایی را برای مجلاتی می بینم که بر سودمندی و وضوح استثنایی تأکید دارند (تئوری اعداد اساسی را در نظر بگیرید)). من طرفدار این نیستم که مردم از نوشتن مقاله دست بردارند، اما حذف برگ انجیر از انتشار مجله، مقاله را مجبور می کند تا بر شایستگی خود بایستد. آیا مقاله داستان قانع کننده ای را بیان می کند؟ آیا تأیید ناب است؟ ما باید مقالات کمتر (و بهتر) تولید کنیم، نه بیشتر.

شواهد تولید شده توسط هوش مصنوعی مستقل و امیدواریم با بررسی ناب نیز جایگاه خود را داشته باشند و باید به عنوان بخشی از مجموعه دانش ما ثبت شوند. (به ریاضی شش ضلعی مراجعه کنید.)

دانشجویان تحصیلات تکمیلی، دوره های سال اول و سمینارها.

یکی از مشکلاتی که ما با آن روبرو هستیم نحوه تربیت دانشجویان تحصیلات تکمیلی است. تز معمولی همیشه این بوده است که یک مسئله را در اورهانگ تعیین کنیم، تمرینی که به دانش آموز مهارت های فنی برای حل یک تغییر در برخی از مسائل قدیمی را می آموزد، با این انتظار که در ادامه، تکنیک هایی را که آموخته اند به موارد جدید گسترش دهند و سپس امیدواریم به مسائل گسترده تر منشعب شوند. در عصری که می توان چنین پایان نامه ای را با فشار دادن یک دکمه تولید کرد، ما باید بر اساس آنچه که امیدواریم یک دانش آموز خوب در آینده انجام دهد، دوباره ارزیابی کنیم.

حتی با وجود منابع هوش مصنوعی، اگر ندانند هر یک از این اصطلاحات به چه معنا هستند، هیچ کس نمی تواند پیوندهای بین سه منیفولدهای فشرده حسابی هذلولی و سیستم های Kolyvagin را کشف کند. (و حتی اگر به نحوی می توانستند، چرا به آنها اهمیت می دادند؟) ارائه یک دید کلی از ریاضیات به عنوان یک رشته به دانش آموزان بسیار مهمتر شده است. چیزی که من می‌خواهم یک دانشجوی فارغ‌التحصیل در پایان دوره دکتری خود به آن دست یابد، دیدگاهی نسبت به ریاضیات است که فراتر از رشته آنها است، و در عین حال با مهارت‌های فنی قابل اثبات حداقل در برخی از کلاس‌ها از مسائل.

اغلب، دانش‌آموزان با مهارت‌های فنی در یک حوزه فرعی فارغ‌التحصیل می‌شوند، اما تجربه آنها در سایر جنبه‌های حوزه خود، چه رسد به سایر حوزه‌های ریاضی، شامل آموزش‌های فنی است که از آن زمان به بعد، بدون چشم‌انداز واقعی، فراموش کرده‌اند. من در بالا از این موضوع دفاع کردم که باید کار را به گونه‌ای ارزیابی کنیم که گویی هوش مصنوعی درگیر است. اما این بدان معنا نیست که ما نیازی به آموزش ریاضیات عمیق بدون هوش مصنوعی به دانش‌آموزان نداریم، همانطور که وجود رایانه به این معنی نیست که دیگر نباید به کودکان حساب بیاموزیم.

این پیامدهایی برای آنچه ما آموزش می‌دهیم و همچنین نحوه صحبت کردن در مورد آن توسط دانش‌آموزان دارد. یک دوره تحصیلات تکمیلی باید دانش آموزان را با درک درستی از آنچه این مبحث در جاهای دیگر در ریاضیات ممکن می کند، ایجاد کند. ما باید از آنها انتظار داشته باشیم که احساسی از سوالات و ارتباطات خود داشته باشند، حتی زمانی که برخی از جزئیات فنی را فراموش کرده باشند.

اگر بخواهیم افراد را بیشتر در مورد اینکه چگونه می توانند درک خود را نشان دهند، ارزیابی کنیم، واضح است که باید دانش آموزان خود را برای توضیح ریاضیات به افراد دیگر، چه به صورت حضوری، چه در سمینارها، و به همتایان خود، بسیار آگاه تر کنیم. ما باید تلاش کنیم تا به دانش آموزان خود فرصت هایی برای یادگیری این مهارت بدهیم. به یاد داشته باشید که موفق‌ترین گروه‌های دانش‌آموزی آن‌هایی هستند که با هم یاد می‌گیرند و با یکدیگر ریاضیات صحبت می‌کنند.