فرامواد مبتنی بر شبکه مبتنی بر مقیاس

مواد، در اصل، شبکه‌هایی هستند که با همگنی تعریف می‌شوند: پیوندهای یکنواخت، ضخامت‌های ثابت و مقیاس‌های طول گسسته. فرامواد مکانیکی، در حالی که نمایانگر ریزساختارهای متنوع‌تری از نظر ساختاری هستند، با همگنی سلول‌های واحد، اندازه منافذ یا ویژگی‌های تکرارشونده 1، 2 مشخص می‌شوند. در مقابل، همانطور که علم شبکه نشان داده است، سیستم های دنیای واقعی و بیولوژیکی - از اینترنت گرفته تا مغز - عملکرد خود را از تنوع گسترده و چند مقیاسی در اتصال و طول پیوند 3، 4، 5، 6 می گیرند.

در اینجا ما فرامواد غنی از مقیاس را معرفی می‌کنیم، یک چارچوب طراحی که ناهمگونی شبکه را در فرامواد مکانیکی تعبیه می‌کند و به ناهمگونی‌های درجه‌ای در طول، ضخامت و اتصال رباط‌ها دست می‌یابد. شبکه‌های غنی از مقیاس که تنها توسط دو پارامتر اداره می‌شوند، مرتبه‌ای از ابعاد را در ویژگی‌های ساختاری پوشش می‌دهند، و بر محدودیت‌های قبلی در طراحی فراماده غلبه می‌کنند.

با ترجمه این مدل‌های شبکه به مواد قابل تحقق فیزیکی، از شبیه‌سازی‌ها و آزمایش‌ها استفاده می‌کنیم تا نشان دهیم که فرامواد غنی از مقیاس، ویژگی‌هایی غیرقابل دسترس برای سیستم‌های تک مقیاس سنتی، از جمله ناهمسانگردی الاستیک بسیار قابل تنظیم، تغییر شکل غیرخطی غیرخطی با جذب انرژی بالا، اتلاف انرژی افزایش‌یافته تحت بارگذاری قابل کنترل دینامیکی و برنامه‌ریزی قابل کنترل را نشان می‌دهند.

این چارچوب مبتنی بر شبکه یک مدل حداقل و جهانی را برای مهندسی مواد چند منظوره ایجاد می‌کند که رفتار مکانیکی آن مستقیما از تنوع مقیاس بیرون می‌آید، و همچنین راه‌های تحقیق را برای خود علم شبکه باز می‌کند.

در هسته خود، مواد شبکه هستند: در جامدات کریستالی، اتم ها شبکه های منظمی را تشکیل می دهند که با پیوندهای یکنواخت تعریف شده اند، و در فرامواد مکانیکی، یک نمودار مجزا تعاملات بین اجزای ساختاری را رمزگذاری می کند. این نمودارها یک ویژگی مهم را به اشتراک می گذارند - یک همگنی استثنایی از ویژگی های محلی آنها. شبکه‌های کریستالی با طول پیوند و استحکام برهمکنش منحصر به فرد تعریف می‌شوند و حتی سیستم‌های بی‌نظم مانند ریزساختارهای آمورف توزیع‌های باریکی از اتصال و استحکام پیوند را نشان می‌دهند.

فرامواد مکانیکی، یا مصالح معماری، این همگنی را به ارث می برند: علیرغم تنوع ساختاری آنها، آنها معمولا توسط یک یا چند مقیاس طول گسسته 7 کنترل می شوند، حتی در حضور سلسله مراتب 2، 8 یا بی نظمی 9. طراحی سلول واحد بیشتر اتصال یکنواخت 10 و محدودیت های سازگاری هندسی 11، 12 را اعمال می کند، در حالی که معماری های مبتنی بر صفحه و پوسته نیز به ضخامت های ثابت و اندازه منافذ یکنواخت 13، 14 متکی هستند.

با این حال، همانطور که علم شبکه در دو دهه گذشته نشان داده است، شبکه های دنیای واقعی به ندرت همگنی جامدات کریستالی یا آمورف را نشان می دهند. درعوض، سیستم‌های متنوعی مانند شبکه‌های تعامل پروتئین-پروتئین، شبکه‌های اجتماعی و زیرساخت‌های جهانی مانند اینترنت، تنوع ساختاری قابل‌توجهی را نشان می‌دهند: درجه‌های گره، مرتبه‌های بزرگی را در بر می‌گیرند و قدرت‌های برهم‌کنش، محدوده‌های وسیعی را پوشش می‌دهند 3، 4، 5، 6. این ناهمگونی زیربنای استحکام 15، 16، 17 و انعطاف پذیری 18 آنها است، فرآیندهای دینامیکی 19 را تسهیل می کند و کنترل را از طریق زیر مجموعه کوچکی از گره های 20 امکان پذیر می کند.

حتی شبکه‌های فیزیکی 21، 22، 23، مانند شبکه‌های عصبی و عروقی، که گره‌ها و پیوندهای آن‌ها حضور مادی دارند، بسیار ناهمگن هستند، با درجات، طول پیوندها و قدرت‌هایی که چندین مرتبه قدر 24 را در بر می‌گیرند.

عناصر سازماندهی چند مقیاسی نیز مشخصه بارز سیستم های بیولوژیکی هستند که خواص مکانیکی و حمل و نقل آنها را مشخص می کنند. برای مثال، بال‌های سنجاقک، طول رگه‌ای را نشان می‌دهند که بیش از سه مرتبه بزرگی را در بر می‌گیرد، از ℓ min = 0.1 میلی‌متر تا حداکثر ℓ ≈ 50 میلی‌متر (مرجع 25). برگها الگوهای تهویه به همان اندازه پیچیده را نشان می دهند، با مقیاس های طولی از ℓ ≈ 10-1 میلی متر تا ℓ ≈ 10 3 میلی متر و اتصال تقریبا 3 دهه را شامل می شود 26 . تارهای عنکبوت از ریسمانی ساخته شده اند که طول آن از ℓ ≈ 1 میلی متر تا ℓ ≈ 10 3 میلی متر گسترش می یابد.

27)، و استخوان‌ها معماری‌های سلسله مراتبی را نشان می‌دهند که از عناصر میله‌ای و صفحه‌مانند ساخته شده‌اند که طول آن‌ها از ℓ ≈ 100 میکرومتر تا ℓ ≈ 1500 میکرومتر و ضخامت از λ ≈ 40 میکرومتر تا λ ≈ 400 میکرومتر متغیر است (رجوع کنید به 28).

در طول دو دهه گذشته، مدل‌های شبکه یک زبان قدرتمند برای توصیف سیستم‌هایی ارائه کرده‌اند که ساختار آن‌ها مقیاس‌های زیادی را شامل می‌شود 29، 30، 31، 32. توصیفات تئوری گراف به طور فزاینده ای چنین سازمان ساختاری را به مکانیک در مواد طبیعی و مهندسی شده، کلاژن و دیگر پلیمرهای زیستی 33، کاغذ 34، نانوذرات خود مونتاژ شده 35 و شبکه های فیبر مرکب 36 مرتبط می کند. این مطالعات نشان می دهد که بی نظمی و توپولوژی شبکه می تواند برای تنظیم پاسخ مکانیکی 37 استفاده شود، به عنوان مثال، از طریق هرس انتخابی شبکه های الاستیک 38.

با این حال، هیچ چارچوب مولد برای مواد معماری که در آن طول، ضخامت و اتصال به طور همزمان مرتبه‌هایی از بزرگی را در بر می‌گیرند، وجود ندارد، و نه چارچوبی که پیش‌بینی کند این ناهمگونی ساختاری چگونه عملکرد مکانیکی را شکل می‌دهد.

برای پرداختن به این شکاف، در اینجا یک الگوی طراحی برای فرامواد مکانیکی معرفی می‌کنیم که از یک رویکرد مبتنی بر علم شبکه برای تولید معماری‌هایی با گستره اتصالات، مقیاس‌های طول و نقاط قوت تعامل کنترل‌شده و در عین حال کاملا متغیر استفاده می‌کند. ما به این مواد به عنوان شبکه‌های غنی از مقیاس (SR) اشاره می‌کنیم، زیرا آنها امکان همزیستی همزمان طول‌ها، ضخامت‌ها و اتصالات را فراهم می‌کنند که در محدوده‌ای از ردیف‌های بزرگی در یک سیستم قرار دارند.

با استفاده از مدل‌سازی محاسباتی و آزمایش‌ها، نشان می‌دهیم که فرامواد SR، که تنها توسط دو پارامتر کنترل می‌شوند، ویژگی‌های غیرقابل دستیابی را در سیستم‌های تک مقیاسی امکان‌پذیر می‌کنند: یک محدوده قابل تنظیم ۱۹۰ برابری ناهمسانگردی الاستیک در سراسر چگالی، تغییر شکل غیرخطی پایدار و غیرمحلی با جذب انرژی بالا، برنامه‌ریزی‌پذیری کم‌بارگذاری انرژی و تغییر دینامیکی افزایش‌یافته انرژی. پاسخ ها

در نهایت، ما یک مدل تحلیلی استخراج می‌کنیم که کل انرژی ذخیره‌شده را به ویژگی‌های هندسی مانند طول، ضخامت و درجه رباط متصل می‌کند و نقش مکانیکی مقیاس‌های طول چندگانه موجود در سیستم را آشکار می‌کند. در مجموع، این نتایج مواد SR را به عنوان یک پلت فرم همه کاره برای مهندسی سیستم های چند منظوره با عملکرد قابل برنامه ریزی و چند مقیاسی معرفی می کند. آنها همچنین چارچوبی مینیمال و در عین حال قدرتمند برای طراحی معکوس و راه های باز تحقیق برای علم شبکه ارائه می دهند.

برای ساختن یک فراماده SR، ما با یک دامنه مربع واحد (L = 1) شروع می کنیم و به طور مکرر رباط هایی را اضافه می کنیم که ضخامت λ با زمان t کاهش می یابد، به عنوان λt = λ 0 t - α، که λ 0 ضخامت اولیه و α توان فروپاشی است. فرآیند تولید از دو مرحله تشکیل شده است (شکل 1a): (1) یک نقطه هسته تصادفی (xt, y t) در دامنه L 2 و یک زاویه تصادفی θ t را انتخاب کنید. (2) یک رباط با ضخامت λ t را از نقطه هسته در هر دو جهت، که با θ t تعریف شده است، رشد دهید تا زمانی که رباط های دیگر یا مرز را قطع کند.

ما مراحل 1 و 2 را تا زمان از پیش تعریف شده t = T یا تا زمانی که نتوانیم رباط‌های جدید اضافه کنیم، تکرار می‌کنیم، که منجر به حالت پارازیت 22، 39 می‌شود (برای مثال‌های بیشتر به اطلاعات تکمیلی، بخش 1.5 و برای اجرا به اطلاعات تکمیلی، بخش 1.8 مراجعه کنید). هر رباط جدید در اولین تقاطع خود متوقف می شود و با هم ذوب می شود و در نتیجه یک شبکه مسطح بدون همپوشانی ایجاد می شود.

a، فرآیند تولید یک فراماده SR، از مرحله زمانی t = 1 شروع می شود که در آن یک لیگامان اولیه با ضخامت λ 0 از یک مختصات تصادفی (x 0، y 0) در جهت گیری تصادفی θ 0 ایجاد می شود. سپس رباط های اضافی در هر مرحله زمانی t (هسته شده با مختصات و جهت گیری های تصادفی) با ضخامت λt = λ 0 t - α تولید می شوند و در تقاطع با رباط دیگر یا مرز دامنه خاتمه می یابند. \({X}_{i}=({x}_{i}،{y}_{i}،{\theta }_{i}،{\lambda }_{i})\) موقعیت، جهت و ضخامت رباط i را نشان می‌دهد.

b، شبکه پشت فراماده SR، با الهام از شبکه های جاده ای 45، رباط ها را به عنوان گره ها و تقاطع ها را به عنوان پیوند نشان می دهد. پانل ها رشد شبکه را مطابق با تنظیمات نشان داده شده در یک نشان می دهند. ج، نمودار فازی (α، λ 0) به دست آمده تحلیلی (فضای طراحی دو پارامتری) فرامواد SR. برای α کوچک، سیستم گیر می کند، یعنی اجازه ورود رباط های جدید را نمی دهد.

برای α های بزرگ، سیستم می تواند به طور نامحدود رباط های اضافی را در خود جای دهد و به مرحله ای برسد که چگالی سیستم قابل تنظیم باشد (اطلاعات تکمیلی، بخش 1.1). فرامواد SR به صورت تجربی با T = 500 و چگالی نسبی \(\bar{\rho }=40 \%\) از طریق دو نوع تکنیک چاپ سه بعدی، با نمادهای سفید به تصویر کشیده می‌شوند. d، تصاویر نمونه‌های فراماده SR چاپ سه‌بعدی، در مقیاس‌های سانتی‌متری (فتوپلیمریزاسیون vat) و میکرومتری (لیتوگرافی دو فوتونی)، مربوط به نمادهای سفید در c.

e – g، توزیع ضخامت رباط P ( λ ) ( e )، طول رباط P ( ℓ ) ( f ) و درجات رباط (تعداد اتصالات در هر رباط) P ( k ) ( g )، برای λ 0 = 0.1; همه دم قانون قدرت را نشان می دهند. h، مدولاسیون چگالی نسبی به عنوان تابعی از α برای λ 0 = 1، میانگین بیش از 20 اجرا برای T = 30000. i – k، ضخامت (i)، طول (j) و توزیع درجه (k) فرامواد SR (T = 500، α = 0.5، λ 0 = 0.06، میانگین بیش از 10 اجرا) در مقایسه با سیستم های مرجع: شبکه شش ضلعی، شبکه مربع و شبکه Voronoi در Tessellation \\% ).

در مدل، طول رباط‌های تازه اضافه شده با زمان کاهش می‌یابد به‌عنوان \({{\ell }}_{t}\approx {((1-{\sum}_{j=0}^{t-1}{{\ell }}_{j}{\lambda }_{j})/t)}^{1/2}\) به‌عنوان ناحیه‌ای که مجددا نشان داده می‌شود. \({A}_{t}={A}_{t-1}-{\lambda }_{0}{A}_{t-1}^{1/2}{(t-1)}^{-(\alpha +1/2)}\) (اطلاعات تکمیلی، بخش 1.1).

این کاهش توسط همگرایی جمع کنترل می شود \({A}_{t}^{\mathrm{total}}=1-{\sum }_{j=0}^{t-1}{{\ell }}_{j}{\lambda }_{j}\تقریبا 1-{\lambda }_{0}{\sum }_{j=0}^{t-1}{A}_{j-1}^{1/2}{(j-1)}^{-(\alpha +1/2)}\)، که رفتار مجانبی آن دو فاز مجزا را تعریف می‌کند (شکل 1c): حالت‌های گیر کرده و چگالی قابل تنظیم. اگر α < 1/2، یا اگر α > 1/2 و \({\lambda }_{0} > {({{\ell }}_{0}\zeta (2\alpha ))}^{-1}\)، که در آن \(\zeta \) تابع زتای ریمان و ℓ 0 ≈ 0 (ref 0) است.

40)، مجموع واگرا می شود، بنابراین \({A}_{\infty }^{\mathrm{total}}\به 0\) و در نتیجه پوشش کامل و گیر کردن (شکل 1c، ناحیه نارنجی) ایجاد می شود. برای پارامترهای دیگر، مجموع همگرا می‌شود و سیستم به یک چگالی نسبی قابل تنظیم محدود می‌رسد (یعنی کسر پر) \(\bar{\rho }\تقریبا {{\ell }}_{0}{\lambda }_{0}\zeta (\alpha +\beta )\)، که در آن b طول decay a liga است. مورد توجه ویژه برای مواد سبک وزن 41 . همانطور که در شکل نشان می دهیم.

1d، سیستم‌های با α کوچک از نظر فیزیکی در مقیاس‌های طولی از طریق فرآیندهای تولید افزودنی مانند فوتوپلیمریزاسیون vat قابل تحقق هستند، در حالی که طرح‌های α بالاتر به وضوح زیر میکرومتری نیاز دارند که توسط لیتوگرافی دو فوتونی ارائه می‌شود (اطلاعات تکمیلی، بخش 2.2).

هر دو معماری منظم و نامنظم دارای مقیاس‌های طول مشخصه منحصربه‌فردی هستند که توسط یک عدد هماهنگی منحصربه‌فرد یا باریک متغیر (درجه، k)، طول (ℓ) و ضخامت رباط (λ) 14، 42 تعیین می‌شوند. ویژگی متمایز یک شبکه SR عدم وجود مقیاس مشخصه آن برای هر یک از این سه بعد تعیین کننده است. در واقع، همانطور که ضخامت رباط از λ t = λ 0 t - α پیروی می کند، توزیع ضخامت کلی P (λ) از توزیع قانون توان P (λ) ≈ λ-(1+1/α) پیروی می کند (شکل 1e و اطلاعات تکمیلی، بخش 1.2).

برای تعیین توزیع طول رباط، باید در نظر بگیریم که طول رباط به صورت ℓ t = ℓ 0 t − β کاهش می یابد، که β = 0.5 است، به جز در مرز، که β = α (اطلاعات تکمیلی، بخش 1.1.1). همانطور که در اطلاعات تکمیلی، بخش 1.3 استخراج می کنیم، طول رباط حاصل از توزیع Erlang پیروی می کند: برای ℓ زیاد (\({\ell }\approx \sqrt{2}\)) توزیع به عنوان یک دم قانون قدرت تحلیل می رود P (ℓ ) ≈ ≈ ℓ ℓ ℓ ℓ که ℓ +1 به عنوان μ/s افزایش می یابد. با توان μ = -1 (شکل 1f).

یک مشخصه اساسی شبکه توزیع درجه (یا شماره هماهنگی) 3، 4، 29 است. این وسوسه انگیز است که هر تقاطع رباط را یک گره و هر بخش اتصال دهنده را یک پیوند در نظر بگیریم، رویکردی که اغلب در شبکه های فیزیکی اتخاذ می شود 43، 44. با این حال، در مدل SR، ضخامت رباط مرتبه‌های بزرگی را در بر می‌گیرد و ما را وادار می‌کند تا نمایشی را که اغلب در شبکه‌های حمل‌ونقل استفاده می‌شود، اتخاذ کنیم، که در آن هر رباط (یا جاده) به عنوان یک گره منفرد مفهوم‌سازی می‌شود و تقاطع‌ها به صورت لبه‌ها نشان داده می‌شوند (شکل 1b).

در این نمایش، توزیع درجه P ( k ) از قانون توان P ( k ) ≈ k - γ با γ = 3 پیروی می کند (شکل 1g، شکل تکمیلی 11 و اطلاعات تکمیلی، بخش 1.4). قانون قدرت به دلیل پیوست ترجیحی فضایی پدیدار می‌شود: رباط‌های طولانی‌تر فرصت‌های خطی بیشتری برای تلاقی با رباط‌های جدید اضافه شده دارند (شکل تکمیلی 11).

روی هم، متوجه می‌شویم که در شبکه‌های SR، هر سه ویژگی برجسته معماری سیستم - عدد هماهنگی (درجه، k)، طول (ℓ) و ضخامت رباط (λ) - از توزیع‌های قانون قدرت پیروی می‌کنند. به عبارت دیگر، در حالی که در سیستم‌های مواد معمولی k، ℓ و λ ثابت هستند یا در یک محدوده بسیار باریک متفاوت هستند، در مواد SR آنها چندین مرتبه در یک نمونه را پوشش می‌دهند و همزیستی مقیاس‌های طولی مختلف را رمزگذاری می‌کنند.

ناهمگونی منحصر به فرد شبکه SR یک سوال مهم را مطرح می کند که آیا فرامواد SR دارای خواص فیزیکی متمایز از مواد طبیعی و معماری تک مقیاس هستند یا خیر.

ما با تعیین ویژگی‌های مکانیکی ریزساختارهای SR، مقایسه آنها با سه ریزساختار تک مقیاس که اغلب در کاربردهای مهندسی استفاده می‌شوند، شروع می‌کنیم: شبکه مربع، شبکه شش ضلعی و تسمه نامنظم Voronoi. با ایجاد دامنه های محدود از هر ریزساختار با تعداد کافی از ویژگی های مشخصه، تأیید می کنیم که P (λ)، P (ℓ) و P (k) برای شبکه های مربع و شش ضلعی منجر به توابع دلتا می شود، در حالی که تسلیحات Voronoi با توزیع های باریک مشخص می شود (شکل 1i-k).

برای گسترش مقایسه فراتر از تفاوت‌های نظری بین معماری‌ها، به طور تجربی و عددی خواص مکانیکی این ریزساختارهای فرامواد را تعیین کردیم، با استفاده از چاپ سه بعدی فوتوپلیمریزاسیون vat (روش‌ها) برای ساختن نمونه‌هایی در مقیاس سانتی‌متری از رزین پلیمری الاستیک-پلاستیک (شکل 1d، تقریبا 0 میکرومتر) با وضوح تصویر 1d. ما بر روی سیستم‌های SR با T = 500 تمرکز کردیم - نقطه‌ای که خواص مکانیکی همگن نشان می‌دهد همگرایی و اثرات مرزی به حداقل می‌رسد (اطلاعات تکمیلی، بخش 2.3).

با توجه به وضوح این ویژگی و محدودیت 500 رباط، چگالی نسبی قابل دستیابی با پرینت سه بعدی فوتوپلیمریزاسیون vat بین \(20 \% \le \bar{\rho }\le 75 \% \) بود (اطلاعات تکمیلی، بخش 2.5). ما همچنین می‌توانیم کسرهای پرکننده کمتر را در فاز چگالی تنظیم‌پذیر نشان دهیم (\(\bar{\rho } < 20 \% \)؛ شکل 1c) با استفاده از لیتوگرافی دو فوتونی (شکل 1d، سمت راست) با حداقل اندازه‌های ویژگی زیر میکرومتر. سپس، پاسخ‌های مکانیکی خطی و غیرخطی را در رژیم‌های شبه استاتیکی و دینامیکی این ریزساختارهای SR مشخص کردیم.

برای تعیین پاسخ خطی الاستیک فرامواد SR، همگن سازی محاسباتی را با استفاده از روش المان محدود انجام دادیم. با تحمیل شرایط مرزی وابسته، یک مدول جهتی E d در هر جهت e d استخراج کردیم و یک مدول غیربعدی \(\bar{E}\equiv {E}_{{\rm{d}}}/{E}_{{\rm{s}}}\) محاسبه کردیم، که در آن E s ماده ضریب یانگ است (مدول روش یانگ).

در چگالی نسبی \(\bar{\rho }=40 \%\)، ما این تحلیل را بر روی سه سیستم تک مقیاس (مربع، شش ضلعی و Voronoi) و هندسه SR انجام دادیم، که با تحقق نماینده در شکل 2a، از طریق نمایش های قطبی \(\overline{E}\) به عنوان تابعی از جهت نشان داده شده است. در حالی که ساختارهای شش ضلعی و ورونوی یک \(\overline{E}\) تقریبا ثابت را در همه جهت‌ها نشان می‌دهند (یعنی یک پاسخ سختی همسانگرد، همانطور که انتظار می‌رود 46؛ شکل.

2a (i)، (ii))، شبکه مربعی بسیار ناهمسانگرد است، سفتی بالایی را به موازات پایه های آن و حداقل سختی را در هر جهت دیگر نشان می دهد (شکل 2a (iii)). برخلاف این افراط‌های نزدیک، رفتار ساختارهای SR را می‌یابیم که توسط α تعدیل می‌شود: برای α≈ 0، سفتی تقریبا همسانگرد است (شکل 2a (IV)). و به عنوان α → 1، جهت اصلی حداکثر سختی ظاهر می شود (شکل 2a (v)،(vi)). در مجموع، مجموعه کاملی از معماری‌های SR، همسانگردی بسیار قابل تنظیمی را به نمایش گذاشتند که بیش از ترکیب سه هندسه معمولی بود.

a، نمودار سفتی جهت شبکه های شش ضلعی مرجع (i)، Voronoi (ii) و مربعی (iii) از شبیه سازی اجزای محدود، در مقایسه با نمونه های SR با α = 0 (iv)، α = 0.3 (v) و α = 0.9 (vi) در همان چگالی نسبی. پانل های سمت راست سفتی جهت اندازه گیری شده تجربی را برای مواد SR با α = 0 (vii)، α = 0.1 (viii) و α = 0.3 (ix) نشان می دهند، که ناهمسانگردی سختی پیش بینی شده نظری را تأیید می کند. میله های مقیاس، 10 میلی متر.

b، نمودار ناهمسانگردی – چگالی، که طیف وسیعی از ناهمسانگردی قابل دستیابی با چارچوب SR را در مقایسه با محدوده باریک مقادیر به‌دست‌آمده توسط نمونه‌های مرجع نشان می‌دهد. دایره های سیاه پر شده (vii)-(ix) ناهمسانگردی اندازه گیری شده تجربی را نشان می دهد. c، با افزایش پارامتر واپاشی α، ناهمسانگردی به وجود می آید زیرا حداکثر سختی جهت ویژه افزایش می یابد، در حالی که حداقل سختی جهت ویژه ثابت است. خطوط جامد نشان دهنده میانگین در تمام نمونه ها هستند و مناطق سایه دار با انحراف استاندارد 1± از مقدار میانگین مطابقت دارند.

d، نمودار فاز در (α، λ0) فضای ناهمسانگردی، که به عنوان یک نقشه طراحی برای یک پاسخ ناهمسانگرد قابل تنظیم در بین چگالی های نسبی \(0.2\le \bar{\rho }\le 0.75\) عمل می کند. e، تکامل زمانی انرژی کشیدگی رباط در طول فرآیند تولید SR. f، عکس‌های فوری در زمان ثابت t برای دو رباط نمونه در یک شبکه SR، مطابق با نشانگرهای موجود در e نشان داده می‌شوند. g، پوسته پوسته شدن جهانی انرژی رباط U i به عنوان تابعی از درجه، k i، ضخامت، λ i و زاویه، θ i. برای هر α، داده ها در طول n = 5 تحقق مستقل، هر یک با T = 5000 گام به طور متوسط ​​محاسبه می شوند.