مسئله‌ی مونتی‌هال؛ معمایی که کبوترها حل کردند و ریاضی‌دان‌ها نه
مسئله مونتی‌هال با به چالش کشیدن شهود انسانی نشان می‌دهد چرا تغییر در انتخابی شانس برد را بیشتر می‌کند؛ معمایی که حتی ریاضی‌دانان را گمراه کرد.
مسئله مونتی‌هال با به چالش کشیدن شهود انسانی نشان می‌دهد چرا تغییر در انتخابی شانس برد را بیشتر می‌کند؛ معمایی که حتی ریاضی‌دانان را گمراه کرد.
فرض کنید روی صحنهٔ یک مسابقه‌ی تلویزیونی ایستاده‌اید. نورها داغ‌اند، تماشاگرها فریاد می‌زنند و جلویتان سه درِ بسته قرار دارد. پشت یکی، ماشینی نو و براق پارک شده و پشت دو در دیگر، بُز گذاشته‌اند! یکی را انتخاب می‌کنید، مثلاً در شماره‌ی یک.
مجری که می‌داند ماشین کجاست، لبخندی می‌زند و در شماره‌ی سه را باز می‌کند. بزی سرش را بیرون می‌آورد. بعد مجری رو به شما می‌کند و می‌پرسد: «سر حرفتان می‌مانید یا می‌روید سراغ در شماره‌ی دو؟» تصمیم بگیرید و انتخابتان را گوشه‌ای از ذهنتان یادداشت کنید، چون آخر داستان دوباره سراغش می‌آییم.
اگر گفتید «فرقی نمی‌کند، دو در مانده و شانس هر کدام نصف‌نصف»، تنها نیستید. در سال ۱۹۹۰ حدود ده هزار نفر همین حرف را با عصبانیت برای یک ستون‌نویس مجله نوشتند و نزدیک به هزار نفرشان مدرک دکترا داشتند. یکی از پرکارترین ریاضی‌دانان تاریخ هم همین را گفت. بااین‌حال جواب درست جای دیگری ایستاده و عجیب‌تر از خودِ جواب، چند کبوتر در یک آزمایشگاه روان‌شناسی بودند که بی‌هیچ فرمول و استدلالی به پاسخ درست رسیدند.
سال ۱۹۶۳ برنامه‌ای در تلویزیون آمریکا روی آنتن رفت به اسم Let's Make a Deal، یعنی «بیا معامله کنیم». مونتی هال مجری برنامه مردی خوش‌پوش و خوش‌زبان و اهل وینیپگِ کانادا بود. برنامه آن‌قدر گرفت که مونتی هال تا سال ۱۹۹۰ حدود ۴۵۰۰ قسمت از آن را اجرا کرد.
مسابقه‌ی تلویزیونی دهه‌ی ۶۰ آمریکا با پیشنهادهای عجیبش بستری برای شکل‌گیری یک مناقشه‌ی بزرگ علمی شد
فضای استودیو به بازاری شلوغ شباهت داشت. تماشاگران با لباس‌های عجیب‌وغریب و رنگارنگ می‌آمدند تا چشم مونتی را بگیرند و از میان جمعیت انتخاب شوند. مونتی بین ردیف‌ها راه می‌رفت و معامله پیشنهاد می‌داد: «اسکناس‌های توی دستت را نگه می‌داری یا چیزی را برمی‌داری که داخل این جعبه پنهان شده؟» گاهی داخل جعبه یخچالی نو بود و گاهی جایزه‌ای خنده‌دار، مثلاً یک بز.
در یکی از قالب‌های برنامه، شرکت‌کننده با چند در روبه‌رو می‌شد که پشت بعضی از آن‌ها جایزه‌ای بزرگ قرار داشت و پشت بقیه جایزه‌های بی‌ارزش و مضحک معروف به «زانک». معمایی که امروز اسم مونتی هال را یدک می‌کشد از حال‌وهوای همین معامله‌ها الهام گرفت؛ هرچند جلوتر می‌بینیم خودِ مونتی هال هم با نسخه‌ی ریاضی‌اش کاملاً کنار نمی‌آمد.
بیایید معما را یک‌بار دقیق بگوییم، چون جزئیات ماجرا صحت پاسخ نهایی را تعیین می‌کنند.
۱. پشت یکی از سه در ماشین است و پشت دو تای دیگر بز.
۳. مجری که جای ماشین را می‌داند، همیشه یکی از دو درِ باقیمانده را باز می‌کند و همیشه پشتش بز است.
۴. بعد مجری همیشه به شما پیشنهاد می‌دهد دری را که قبلاً انتخاب کرده‌اید، عوض کنید.
ظاهراً با سؤال ساده‌ای مواجهید، در را عوض می‌کنید یا خیر؟
روح این معما خیلی پیش از مونتی هال در کتاب‌های احتمال سرگردان بود. ژوزف برتران ریاضی‌دان فرانسوی در سال ۱۸۸۹ معمای سه جعبه را مطرح کرد که در آن یک جعبه دو سکه‌ی طلا دارد، یکی دو سکه‌ی نقره و سومی از هر کدام یکی. جعبه‌ای را تصادفی برمی‌دارید و سکه‌ای طلا بیرون می‌کشید. احتمال اینکه سکه‌ی دیگرِ همان جعبه هم طلا باشد چقدر می‌شود؟ شهود می‌گوید نصف؛ جواب درست دوسوم.
هفتاد سال بعد، مارتین گاردنر در ستون معروفش در مجله‌ی ساینتیفیک امریکن نسخه‌ی تلخ‌تری به نام معمای سه زندانی را مطرح کرد. سه نفر در انتظار اعدام‌اند و فقط یکی بخشیده می‌شود. زندانی اول از نگهبان می‌خواهد نام یکی از دو نفر دیگر را که حتماً اعدام می‌شود به او بگوید.
نگهبان می‌گوید: «زندانی دوم». زندانی اول خوشحال می‌شود، چون خیال می‌کند شانس زنده‌ماندنش از یک‌سوم به نصف رسیده؛ اما شانس او تکان نمی‌خورد؛ شانسِ زندانی سوم دو برابر می‌شود.
سال‌ها پیش از برنامه‌ی تلویزیونی، نسخه‌های دیگری از این معما ذهن آمارشناسان را درگیر کرده بود
اسم مونتی هال سال ۱۹۷۵ روی معما نشست. استیو سلوین، آمارشناس دانشگاه برکلی ، نامه‌ای کوتاه به مجله‌ی The American Statistician فرستاد و معما را در قالب همان برنامه‌ی تلویزیونی شرح داد. چند خواننده اعتراض کردند و سلوین در نامه‌ی دومش، با عنوان «درباره‌ی مسئله‌ی مونتی هال»، پاسخ را با جزئیات بیشتری دوباره توضیح داد.
خودِ مونتی هال نیز برای سلوین نامه نوشت و استدلالش را پذیرفت، او قبول داشت که پس از بازشدن یک جعبه‌ی خالی، احتمال برنده‌بودن انتخاب اول همان یک‌سوم می‌ماند؛ اما یادآوری کرد که در بازی واقعی، شرکت‌کننده لزوماً پس از دیدن جعبه‌ی خالی اجازه‌ی تعویض نداشت.
بااین‌حال، معما بیرون از حلقه‌ی آمارشناسان چندان شناخته نشد. پانزده سال طول کشید تا یک سؤال ساده در یک مجله‌ی یکشنبه آتش مسئله را به جان آمریکا بیندازد.
مجله‌ی Parade ضمیمه‌ی یکشنبه‌ی صدها روزنامه‌ی آمریکایی بود و میلیون‌ها خواننده داشت. از سال ۱۹۸۶ یکی از ستون‌های ثابتش «از مریلین بپرس» نام داشت. نویسنده‌ی ستون، مریلین ووس ساوانت، شهرتش را مدیون رکورد بالاترین ضریب هوشیِ ثبت‌شده در کتاب گینس بود. خواننده‌ها معما و پرسش منطقی می‌فرستادند و او هر هفته جواب می‌داد.
نهم سپتامبر ۱۹۹۰ نوبت به نامه‌ی خواننده‌ای به نام کریگ ویتاکر رسید. ویتاکر همان صحنه‌ی سه در را شرح می‌داد و می‌پرسید به نفع اوست که در را عوض کند؟ مریلین پاسخ داد: «بله، عوض کن. با ماندن شانس بردنت یک‌سوم می‌ماند و با تعویض دوسوم می‌شود.» برای اینکه شهود خواننده‌ها را بیدار کند، از آن‌ها خواست به‌جای سه در، یک میلیون در را تصور کنند.
اتفاقی که پس از انتشار پاسخ مریلین افتاد، اصلا شباهتی با واکنش‌های معمول ستون‌های معما نداشت. طبق برآورد خودِ مریلین، حدود ده هزار نامه به دستش رسید و اکثر قریب به اتفاقشان می‌گفتند او اشتباه می‌کند. نزدیک به هزار نامه امضای صاحبان دکترا را داشت و خیلی‌هایشان روی سربرگ دانشکده‌های ریاضی و علوم نوشته شده بودند.
پاسخ درست یک ستون‌نویس زن در روزنامه، طوفانی از نامه‌های تند اساتید دانشگاه را به دنبال داشت
رابرت ساکس، استاد ریاضی دانشگاه جورج میسون، بی‌مقدمه نوشت: «گند زدی!» دیگری پیشنهاد داد مریلین چند آدرس از دانشجوهای دبیرستانی نگه دارد تا در ستون‌های بعدی کمکش کنند.
لحن خیلی از نامه‌ها از نقد ریاضی فراتر می‌رفت و بوی تحقیر می‌داد؛ تحقیرِ زنی که جرئت کرده بود به متخصص‌ها بگوید اشتباه می‌کنند. به گفته‌ی مریلین ، ۹۲ درصد نامه‌های مردم عادی و ۶۵ درصد نامه‌های دانشگاهی‌ها با جوابش مخالف بودند.
مریلین کوتاه نیامد و در فاصله‌ی دسامبر ۱۹۹۰ تا ژوئیه‌ی ۱۹۹۱ سه ستون دیگر را به همین معما اختصاص داد و هر بار از زاویه‌ای تازه توضیحش داد. بعد کاری کرد که بحث را از کاغذ به دنیای واقعی کشاند. او از معلم‌های ریاضی سراسر کشور خواست بازی را با بچه‌ها در کلاس اجرا کنند، با سه لیوان و یک سکه یا سه کارت بازی، و نتیجه را برایش بفرستند. نتیجه‌ها به دستش رسیدند و همه می‌گفتند تعویض تقریباً دو بار از هر سه بار می‌بَرد.
رابرت ساکس از معدود منتقدانی بود که شجاعت پس‌گرفتن حرفش را داشت و نامه‌ای دیگر برای مریلین نوشت. اکثر منتقدان دانشگاهی بی‌سروصدا قانع شدند و هیچ‌وقت عذرخواهی نکردند.
تابستان ۱۹۹۱ اختلاف‌ها و مشاجرات آن‌قدر بالا گرفت که نیویورک‌تایمز تصمیم گرفت سراغ تنها کسی برود که واقعاً هزاران بار پشت درها ایستاده بود. جان تیرنی، خبرنگار روزنامه به خانه‌ی مونتی هال در بورلی‌هیلز رفت و دور میز ناهارخوری، بازی را با خودِ او اجرا کرد.
اول همه‌چیز طبق انتظار پیش رفت. مونتی هال بازی را روی میز چند دور اجرا کرد و قبول داشت که اگر مجری همیشه دری را باز کند و همیشه پیشنهاد تعویض بدهد، حق با مریلین است. بعد مجری کارکشته، رودستی‌ای زد که هیچ ریاضی‌دانی در نامه‌هایش ندیده بود.
مونتی یادآوری کرد که در برنامه‌ی واقعی هیچ قانونی مجبورش نمی‌کرد همیشه دری را باز کند یا پیشنهاد تعویض بدهد. خودش تصمیم می‌گرفت کِی و به چه کسی پیشنهاد بدهد. اگر شرکت‌کننده‌ای درِ درست را انتخاب کرده بود، شاید وسوسه‌اش می‌کرد عوض کند؛ اگر اشتباه کرده بود، شاید سریع درش را باز می‌کرد و تمام.
اجرای معمای ریاضی در دنیای واقعی نشان داد که نیت مجری همه‌چیز را تغییر می‌دهد
در دورهای بعدی، مونتی دسته‌ای اسکناس بیرون آورد و به تیرنی پیشنهاد داد در ازای سه هزار دلار انتخابش را عوض نکند. بعد مبلغ را مرحله‌به‌مرحله تا پنج هزار دلار بالا برد. تیرنی که دیگر خیال می‌کرد قلق بازی دستش آمده، روی تعویض پافشاری کرد و آخر سر یک بز برد.
مونتی نکته‌ی مهم ماجرا را برایش باز کرد. هرچه پیشنهادش بالاتر رفته بود، تیرنی بیشتر مطمئن شده بود ماشین پشت در دیگر قرار دارد. بازی واقعی، بازی ریاضی نبود؛ بازی روان‌شناسی بود، با مجری‌ای که خودش قواعد را لحظه‌به‌لحظه می‌نوشت.
گزارش تیرنی ۲۱ ژوئیه‌ی ۱۹۹۱ در صفحه‌ی اول نیویورک‌تایمز منتشر شد. نکته‌ی مونتی هال حاشیه‌ای به‌نظر می‌رسید، اما همان‌طور که در بخش ریاضی می‌بینیم، به قلب معما می‌زد. جواب این معما نه به درها، که به ذهن مجری بستگی دارد.
شاید فکر کنید افرادی که اشتباه کردند، آدم‌های معمولی یا استادهایی بودند که باعجله نامه نوشتند. اما داستان بعدی نمی‌گذارد این‌قدر خوش‌بین باشیم.
سال ۱۹۹۵، اندرو واژونی، ریاضی‌دان مجار، معما را برای دوست قدیمی‌اش پل اردوش تعریف کرد. اردوش بیش از هر ریاضی‌دان دیگری در تاریخ مقاله منتشر کرده بود، با چمدانی کوچک از خانه‌ی این همکار به خانه‌ی آن یکی سفر می‌کرد و نظریه‌ی احتمال از تخصص‌هایش به شمار می‌رفت. اگر قرار بود کسی در یک‌لحظه جواب را ببیند، او بود.
اردوش گفت فرقی نمی‌کند؛ دو در مانده و شانس هر کدام یک دوم خواهد بود. واژونی که پیش‌تر همه‌ی حالت‌ها را یکی‌یکی روی کاغذ شمرده بود، گفت باید انتخاب را عوض کرد، ولی اردوش نپذیرفت. واژونی استدلال آورد، اردوش باز قبول نکرد.
پل اردوش زمانی پاسخ را پذیرفت که شبیه‌سازی‌های کامپیوتری حقیقت را جلوی چشمانش گذاشتند
در نهایت واژونی سراغ کامپیوتر رفت و برنامه‌ای نوشت که بازی را هزاران بار تصادفی شبیه‌سازی می‌کرد. عددها جلوی چشم اردوش آمدند؛ تعویض، حدود دوسوم مواقع می‌بُرد.
اردوش تسلیم عددها شد و نتیجه را پذیرفت ولی می‌خواست بداند چرا؛ به‌جای خروجی یک برنامه دلیلی شهودی می‌خواست. برای مردی که عمرش را پای «اثبات‌های کتاب» گذاشته بود، یعنی اثبات‌هایی آن‌قدر زیبا که گویی خدا در کتابی نوشته باشد، قانع‌شدن با شبیه‌سازی طعم شکست می‌داد.
اگر داستان زندگی پل اردوش را خوانده باشید، می‌دانید این مرد کمتر جایی کم آورد؛ مونتی هال یکی از همان معدود استثناها به‌حساب می‌آمد.
حالا بیایید خودمان معما را باز کنیم. سه مسیر می‌رویم، از ساده‌ترین تا دقیق‌ترین راه و هر کدام پنجره‌ای تازه رو به همان جواب باز می‌کند.
فرض کنید همیشه در شماره‌ی یک را انتخاب می‌کنید. ماشین با احتمال برابر پشت یکی از سه در قرار دارد؛ پس فقط سه حالت داریم:
از سه حالت هم‌احتمال، ماندن فقط در یکی به برد منجر می‌شود و تعویض در دو حالت می‌برد. بنابراین، احتمال برد با ماندن یک‌سوم و با تعویض دوسوم خواهد بود. تمام ماجرا در همین جدول خلاصه می‌شود؛ ادامه‌ی این بخش فقط توضیح می‌دهد چرا شهودمان این‌قدر سرسختانه با جدول می‌جنگد.
به ستون دوم دقت کنید. وقتی انتخاب اولتان غلط بوده، که دو بار از سه بار همین‌طور است، مجری هیچ اختیاری ندارد. ماشین پشت یکی از دو درِ باقیمانده انتظار می‌کشد و او مجبور می‌شود درِ دیگر را باز کند. به‌عبارت‌دیگر، مجری با انتخابش عملاً با انگشت به ماشین اشاره می‌کند.
حالا همان پیشنهادی را بشنوید که مریلین به خواننده‌هایش داد، فقط کمی کوچک‌تر. به جای سه در، صد در دارید. یکی را انتخاب می‌کنید، مثلاً در شماره‌ی ۳۷. مجری که می‌داند ماشین کجاست، ۹۸ درِ دیگر را یکی‌یکی باز می‌کند و پشت همه‌شان بز ظاهر می‌شود. فقط در ۳۷ شما می‌ماند و در شماره‌ی ۸۲.
هنوز فکر می‌کنید هر کدام از این دو در شانس برابری دارند؟ وقتی در ۳۷ را برداشتید، شانس درست‌بودنش یک درصد بود. مجری در این میان چیزی درباره‌ی در به شما نگفت؛ او اصلا اجازه نداشت درِ شما را باز کند. اما وقتی از میان ۹۹ درِ دیگر، با دقت از روی در ۸۲ رد شد، چیز زیادی درباره‌ی در ۸۲ به شما نشان داد. آن ۹۹ درصد احتمالی که روی ۹۹ درِ دیگر پخش بود، حالا تمامش روی یک در جمع می‌شود.
می‌توانیم با همین منطق به سه در برگردیم؛ چیزی عوض نمی‌شود، دری که انتخاب کرده‌اید به‌احتمال یک‌سوم شانس برنده‌شدن دارد و در باقیمانده به‌احتمال دوسوم برنده می‌شود.
شمردن حالت‌ها کار می‌کند، اما نشان نمی‌دهد چرا گشودن یک در احتمال‌ها را جابه‌جا می‌کند. برای دیدن سازوکار، باید سراغ قضیه‌ی بیز برویم، قاعده‌ای در احتمال شرطی که نامش را از توماس بیز، کشیش و ریاضی‌دان انگلیسی قرن هجدهم گرفت.
توماس بیز سؤالی ساده را صورت‌بندی کرد. وقتی شاهد تازه‌ای می‌رسد، باور قبلی‌تان را چطور به‌روز کنید؟ پاسخ را می‌توانیم در یک خط بنویسیم.
خواندن زبان آماری بالا سخت نیست. احتمال فرضیه‌ی A بعد از دیدن شاهد B، برابر می‌شود با باور قبلی‌تان به A، ضرب در اینکه اگر A درست بود دیدن B چقدر محتمل می‌شد، تقسیم بر احتمال کلی دیدن B.
بیایید قضیه را با مسئله‌ی مونتی هال امتحان کنیم. شما در شماره‌ی یک را انتخاب کرده‌اید و مجری در شماره‌ی سه را باز می‌کند. سه فرضیه داریم؛ ماشین پشت در ۱ (C₁)، پشت در ۲ (C₂) یا پشت در ۳ (C₃). پیش از هر اتفاقی، هر کدام احتمال یک‌سوم دارند. شاهد شما این بود که مجری در ۳ را باز کرد (H₃).
حالا فکر کنید در هر فرضیه، احتمال اینکه مجری دقیقاً در ۳ را باز کند چقدر بود؟
احتمال کلی اینکه مجری در ۳ را باز کند، میانگین وزن‌دار همین سه عدد می‌شود:
فرمول راز معما را لو می‌دهد. وقتی ماشین پشت در ۲ قرار دارد، مجری «مجبور» بود در ۳ را باز کند؛ وقتی پشت در ۱ قرار دارد، فقط «ممکن» بود. رفتاری که از روی اجبار سر می‌زند، دو برابرِ رفتاری که از روی انتخاب سر می‌زند اطلاعات می‌دهد.
بازشدن در ۳ با فرضیه‌ی «ماشین پشت در ۲» دو برابر بهتر جور درمی‌آید تا با فرضیه‌ی «ماشین پشت در ۱» و احتمال‌ها دقیقاً با همین نسبت، دو به یک، تقسیم می‌شوند.
بیایید به نکته‌ی مهم مونتی هال در اتاق ناهارخوری برگردیم. فرض کنید مجری جای ماشین را نمی‌داند و یکی از دو درِ دیگر را کاملاً تصادفی باز می‌کند. این بار هم از قضا پشت در ۳ بز درمی‌آید. باید انتخابتان را عوض کنید؟
در حالت جدید فقط یک عدد در محاسبه‌ی بیز تغییر می‌کند. اگر ماشین پشت در ۲ باشد، مجری‌ای که بی‌خبر است دیگر «مجبور» به بازکردن در ۳ نیست و با احتمال نصف سراغ در ۲ می‌رود و ماشین را لو می‌دهد. پس:
دو عدد برابر شدند و بیز حکم می‌دهد هر دو در، شانس نصف‌نصف دارند. این بار شهودِ آن ده هزار نامه‌نویس درست درمی‌آید.
درها همان درها هستند، بز همان بز و حتی همان در باز می‌شود. فقط ذهن مجری نسبت به حالت قبل عوض شده و همین نکته توضیح می‌دهد چرا بخشی از دعوای سال ۱۹۹۰ واقعا به‌صورت مسئله برمی‌گشت؛ چون نامه‌ی ویتاکر صریحا نگفته بود مجری همیشه دری را باز می‌کند و همیشه پیشنهاد تعویض می‌دهد.
جواب مریلین این قواعد را فرض می‌گرفت و البته بیشتر منتقدانش هم نه از سر دقت در صورت‌مسئله، که از سر شهود «دو در یعنی پنجاه‌پنجاه» مخالفت کرده بودند.
ریاضی‌دان‌ها بعدها این بازی را به شوخی ادامه دادند و نسخه‌های دیگری از مجری ساختند؛ مثل مونتی شیطان، مونتی فرشته و مونتی واقعی. مونتیِ شیطان فقط وقتی پیشنهاد تعویض می‌دهد که درِ اول شما درست باشد. در این بازی، تعویض همیشه می‌بازد.
مونتیِ فرشته فقط وقتی پیشنهاد می‌دهد که اشتباه کرده باشید و با تعویض همیشه برنده می‌شوید. مونتیِ واقعی یعنی مردی که در بورلی‌هیلز اسکناس می‌شمرد؛ کسی که به حال‌وهوای شرکت‌کننده نگاه می‌کند. برای او فرمول سرراستی مثل قبل وجود ندارد، چون مسئله از احتمال ساده خارج و وارد قضیه‌ی بازی‌ها می‌شود.
معنای اطلاعات بسته به استراتژی طرف مقابل تغییر می‌کند
درس اصلی معما را در همین فهرست مشاهده می‌کنیم. اطلاعاتی که دریافت می‌کنیم، مستقل از شیوه‌ی تولیدشان قابل‌تفسیر نیستند. معنای اطلاعات به این بستگی دارد که چطور به دستتان می‌رسد و چه کسی، با چه انگیزه‌ای، آن را جلویتان می‌گذارد.
بازشدن یک در و پیشنهاد تعویض، بسته به اینکه مجری چه می‌داند، از چه قواعدی پیروی می‌کند و با چه انگیزه‌ای تصمیم می‌گیرد، می‌تواند معنای کاملاً متفاوتی داشته باشد.