یک مسئله ریاضی 55 ساله - این بار توسط انسان ها حل شد

گاهی اوقات گراهام هر دو کلاه را به یکباره بر سر می گذاشت. او در یک مصاحبه تلویزیونی در سال 1980 گفت: «در واقع جالب است که بسیاری از ریاضیدانان و دانشمندان کامپیوتر به شعبده بازی علاقه دارند. "من فکر می کنم این جستجوی الگوها و ساختار است که مسئول این امر است." او به نوشتن مقالات متعددی ادامه داد، برخی از آنها با چانگ، در مورد ریاضیات شعبده بازی. اما در سال 1971، دهه‌ها قبل از اینکه این ارتباط را آشکار کند، سؤالی را مطرح کرد که اکنون برخی از ریاضیدانان می‌گویند ممکن است از شعبده بازی نیز الهام گرفته شده باشد. با مجموعه ای تصادفی از اعداد صحیح مختلف، بدون احتساب صفر، شروع کنید.

آیا می‌توانید همیشه آنها را طوری مرتب کنید که اگر دو عدد اول، سپس سه عدد اول، سپس چهار عدد اول و به همین ترتیب را جمع کنید، هر "جمع جزئی" متفاوت باشد؟ در زبان شعبده بازی، این بدان معناست که اگر هر توپ برای مدت زمان متفاوتی در هوا بماند، همیشه می‌توانید دستوری برای پرتاب آن‌ها به گونه‌ای بیابید که دو توپ با یک ضرب به زمین نخورند - که این عمل را خراب می‌کند. اگر اعداد همه مثبت باشند، پاسخ به سوال گراهام بدیهی است که بله: با اضافه کردن اعداد بیشتر، مبالغ همیشه بزرگتر می شوند.

به طور مشابه، اگر هر دو اعداد مثبت و منفی در ترکیب وجود داشته باشد، پاسخ نیز مثبت است. اما چه می‌شود اگر اعداد در یک دنیای متناهی زندگی کنند - مانند اعدادی که دور یک ساعت پیچیده شده‌اند و پس از شمارش معین تکرار می‌شوند؟ این چیزی است که گراهام می خواست بداند. او حدس زد که پاسخ همچنان باید مثبت باشد. او تصور کرد که اغلب اتفاق می‌افتد که حتی وقتی با محدودیت‌های سفت و سخت سر و کار دارید، همچنان می‌توانید انعطاف‌پذیری کافی برای ساختن الگوها یا ساختارهای خاص پیدا کنید - درست همانطور که معمولا می‌توان یک تخته سودوکو معتبر یا مربع لاتین (نوع دیگری از پازل) را علی‌رغم قوانین زیاد آنها پیدا کرد.

نوگا آلون، ریاضیدان دانشگاه پرینستون، می‌گوید: «این به خوبی در تمام این سؤالات در مورد طرح‌ها و ساختارهای بسیار متقارن جا می‌گیرد». اما برای چندین دهه، هیچ کس نتوانست شهود گراهام را درست باشد. این موضوع اخیرا تغییر کرد، زمانی که چندین ریاضیدان جوان توپ ها را برداشتند. در اثباتی که شامل چهار مقاله و زمینه های مختلف ریاضیات بود، آنها در نهایت حدس بازآرایی گراهام را حل کردند.

مقاله نهایی، توسط لیزا ساورمن از دانشگاه بن و هوی توان فام از دانشگاه شیکاگو، در فوریه 2026 ظاهر شد و رسما این مشکل را بسته بود. در سراسر مقالات، یک موضوع غالب بود: قدرت تصادفی برای ترسیم الگوها. همانطور که آلون بیان کرد، «قدرت همکاری، قدرت نسل جوان، قدرت روش‌های احتمالی» است که مشکل را حل کرد. حدس در دنیای محاسبه ساعت تنظیم شده است.

با قرار دادن اعداد کامل روی یک خط اعداد شروع می‌کنید، سپس خط را به دور صفحه ساعت می‌پیچید تا اعداد بعد از یک عدد اول، p تکرار شوند. مثلا p 7 است. در این تنظیم، 0، 7، 14 و همه مضرب های دیگر 7 معادل هستند - به این معنی که می توانید دو عدد مثبت (مانند 3 و 4) را اضافه کنید و صفر به دست آورید. گراهام این سوال را پرسید: اگر مجموعه‌ای از اعداد غیر صفر را از این خط اعداد (برای هر p) انتخاب کنید، آیا می‌توانید همیشه آنها را طوری مرتب کنید که مجموع جزئی که به دست می‌آورید متفاوت باشند؟ چالش بستگی به بزرگی مجموعه شما در مقایسه با p دارد.

هر چه تعداد بیشتری انتخاب کنید، مبالغ بیشتری برای مدیریت وجود دارد. اما اگر اعداد کمتری را انتخاب کنید، راه های کمتری برای مرتب کردن مجدد آنها وجود خواهد داشت. این موارد مختلف الهام بخش رویکردهای متفاوتی است. Müyesser، همراه با مشاور سابق خود، Alexey Pokrovskiy از دانشگاه کالج لندن، به این مورد رسیدگی کردند که در آن مجموعه شما تقریبا هر عدد ممکن را تا p را شامل می شود. با مجموعه هایی به این بزرگی، ساختن یک سفارش معتبر می تواند بسیار سخت باشد.

اما معلوم شد که شروع با یک سفارش تصادفی می تواند بیشتر راه را به آنجا برساند. مویسر می‌گوید: «دانشمندان رایانه اغلب به این مسئله «پیدا کردن یونجه در انبار کاه» می‌گویند. ممکن است بدانید که سفارش‌های خوب زیادی وجود دارد، اما در واقع پیدا کردن آنها سخت است. «اگر این کار را به‌طور تصادفی انجام دهید، احتمالا کارساز خواهد بود، اما توصیف صریح راه‌حل قرار است چگونه باشد، دشوار است». مویسر و پوکروفسکی باید اطمینان حاصل کنند که هیچ دنباله ای از اعداد در هیچ کجای ترتیب به صفر اضافه نمی شود.

در غیر این صورت، افزودن آن اعداد به مجموع جزئی قبلی، آن مجموع را تکرار می کند. یک سفارش کاملا تصادفی ممکن است تعدادی از این توالی های دردسرساز را داشته باشد. بنابراین مویسر و پوکروفسکی ابتدا تعدادی اعداد خاص انتخاب شده را از مجموعه کنار گذاشتند، سپس به طور تصادفی بقیه را به هم زدند. آنها سفارش تصادفی خود را برای هر گونه مشکلی اسکن کردند. اگر با فاصله‌ای روبرو می‌شدند که جمع آن صفر می‌شد، می‌توانستند یکی از اعداد اضافی را برای تغییر آن وارد کنند.

در سال 2022، آنها راه حل خود را ارسال کردند، اگرچه در مقاله ای پنهان شده بود که بر استفاده از همان تکنیک برای یک مشکل کلی تر تمرکز داشت. چند سال بعد، نوآ کراویتز از آکسفورد، که از راه حل مویسر و پوکروفسکی بی خبر بود، به طور تصادفی به حدس گراهام در آرشیو آنلاین مشکلات حل نشده برخورد کرد. کراویتز گفت: «من دیدم که یک مشکل آشکار وجود دارد، و فکر کردم، برای بشریت شرم آور است که ما این را نمی دانیم. این وضعیت فقط باید اصلاح می شد.» او تصمیم گرفت از طرف مقابل به حدس و گمان نزدیک شود.

او همراه با بنجامین بدرت از آکسفورد، موردی را در نظر گرفت که در آن مجموعه اعداد در مقایسه با p کوچک است - برای مثال، آلون گفت، اگر مجموعه‌ای از 100 عدد دارید که p برابر 1 میلیارد باشد. کراویتز و بدرت حدس گراهام را برای آن موارد حل کردند و مدرک خود را در سپتامبر 2024 ارسال کردند. سپس هر سه آن‌ها (به‌علاوه دو همکار دیگر) با هم متحد شدند تا رویکرد اصلی مویسر را گسترش دهند. کراویتز گفت: «این ترکیبی از افراد بسیار بعید بود.

او و مویسر از دو حوزه ترکیبی هستند که معمولا با هم همکاری نمی کنند. او گفت: «بخش‌های مختلف تکنیک‌های کاملا متفاوتی دارند. مقاله آنها که در آگوست 2025 پست کردند، موارد بیشتری را بررسی کرد که در آن مجموعه اعداد نسبتا بزرگ در مقایسه با p. اما بین آن پرونده ها و پرونده های کوچکی که کراویتز و بدرت پوشش داده بودند، یک شکاف باقی ماند. هیچ کس نمی تواند بفهمد که در مورد مجموعه های سایز متوسط، مانند مجموعه هایی که تقریبا نصف اعداد p را شامل می شود، چه کاری باید انجام دهد.

مویسر گفت: «روش‌های ما در آنجا کار نمی‌کردند و دلایل روشنی وجود داشت که کار نمی‌کردند. به نظر می رسید که تحقیقات در مورد این مشکل ممکن است وارد یک وقفه طولانی دیگر شود. سپس، در فوریه 2026، یک شگفتی آنلاین ظاهر شد. در کنفرانس، آنها دو سخنرانی در مورد حدس گراهام توسط ریاضیدانانی شنیدند که تلاش کرده بودند اما نتوانستند شکاف را پر کنند. آنها کنجکاو شده بودند. و همانطور که بعدا معلوم شد، ساورمن در المپیاد بین المللی ریاضی به عنوان یک دانش آموز دبیرستانی با یک مشکل مرتبط نزدیک مواجه شده بود.

او آن را به درستی حل کرد و تا زمانی که دبیرستان را تمام کرد، چهار بار در مسابقات معتبر مدال طلا کسب کرد. (به احتمال زیاد، این چانگ بود که مشکل را در امتحان آن سال قرار داد، زیرا او در کمیته ای بود که سؤالات را می نوشت و اغلب از پازل های گراهام الهام می گرفت.) در پایان دیدار سه روزه خود، ساورمن و فام برنامه ای برای چگونگی شکستن پرونده داشتند. این به یک روش فنی به نام ضد تمرکز بستگی داشت. در اینجا، یک بیانیه ضد تمرکز ادعا می کند که برخی از رویدادها به خصوص شانس وقوع کمی دارند.

اما مکانیزم اثبات این نوع اظهارات به قدری پیچیده است که، اگرچه کراویتز و دیگران می‌دانستند که چنین رویکرد ضد تمرکز ممکن است موفق شود، "ما جرات انجام آن را نداشتیم." با این حال، اول، Sauermann و Pham مانند پیشینیان خود شروع کردند. آنها به طور تصادفی مجموعه اعداد خود را مرتب کردند و روشی برای رفع هر مشکلی ارائه کردند - یعنی هر دنباله ای که مجموع آنها صفر شود. هر زمان که دنباله‌ای با مجموع صفر پیدا می‌کردند، آخرین عدد دنباله را با یک عدد دیگر عوض می‌کردند. این روش اغلب بدون مشکل پیش می رفت.

اما سه نوع "رویداد بد" باعث شکست آن می شود. یک: یک دنباله حاصل جمع صفر ممکن است در انتهای کل آرایش رخ دهد. در این صورت اعداد دیگری برای تعویض وجود نخواهد داشت. و سه: رفع یک دنباله بد ممکن است دنباله صفر دیگری در خط ایجاد کند. Sauermann و Pham امیدوار بودند با استفاده از ضد تمرکز ثابت کنند که هر یک از این رویدادهای بد به اندازه کافی بعید است.

سپس باید راهی برای تنظیم مجدد مجموعه اعداد وجود داشته باشد تا حدس را برآورده کند. برای انجام این کار، این دو نفر از تحلیل فوریه استفاده کردند - ناحیه‌ای از ریاضی که به شما امکان می‌دهد توابع را به صورت مجموع امواج ساده بازنویسی کنید تا نشان دهد که به طور کلی، وقتی مجموعه‌های تصادفی اعداد را جمع می‌کنید، احتمالا مجموع یک عدد ظاهر نمی‌شود. آنها سپس از این بینش برای تخمین دقیق احتمال وقوع هر رویداد بد استفاده کردند و در نهایت نشان دادند که شانس کلی برای وقوع یک رویداد بد کمتر از 100 درصد است.

همین برای حل این حدس کافی بود. چند ماه پس از حضورشان در آلمان، ساورمن و فام مدرک 27 صفحه ای خود را در اینترنت منتشر کردند. آنها نشان داده بودند که نه تنها یک بازآرایی رضایت‌بخش همیشه امکان‌پذیر است، بلکه می‌توان یک ترتیب تصادفی را برای از بین بردن رویدادهای بد حداقل در 90٪ مواقع مجددا تنظیم کرد - یک نرخ موفقیت بزرگ. ریاضیدانانی که قبلا روی این مسئله کار کرده بودند از اینکه پرونده باقی مانده به سرعت بسته شد شگفت زده شدند. مویسر گفت: «رویکرد آنها کاملا متفاوت است. این چهار مقاله با هم، حدس گراهام را برای مجموعه‌هایی در همه اندازه‌ها ثابت می‌کنند.

اما همه آنها فرض می کنند که p بسیار بزرگ است. اگرچه هیچ کس مقدار دقیق آن را محاسبه نکرده است، در امتداد خطوط 10 که تا توان 100 افزایش یافته است فکر کنید. برای ریاضیدانان، این خوب است - نکته بارز این است که شما در تنظیم حساب ساعت کار می کنید. اما جنبه دیگری از مشکل از نظر فنی حل نشده باقی مانده است - ممکن است همچنان سعی کنید حدس را برای همه p حل کنید.

و اگر می‌خواهید از نتیجه برای طراحی یک روتین شعبده بازی واقعی استفاده کنید، شانسی ندارید: برای مطابقت با چنین p بزرگی، روال باید خیلی طولانی باشد. الون گفت، این شواهد تأیید می کند که حتی در این تنظیمات عجیب و غریب و تعداد محدود، "ساختارهای خوبی همیشه وجود دارند." شما همیشه می‌توانید به درجه‌ای از انعطاف‌پذیری دست پیدا کنید، اعداد موجود در مجموعه خود را به هم بزنید تا از بازبینی مجدد همان مبالغ جزئی اجتناب کنید. چانگ گفت: «مشکلات خوب واقعا هنر است.

"من فکر می کنم رون بسیار خوشحال خواهد شد که مشکل را حل کند." داستان اصلی با مجوز از مجله Quanta، یک نشریه مستقل از بنیاد سیمونز که مأموریت آن افزایش درک عمومی از علم با پوشش پیشرفت‌ها و گرایش‌های تحقیقاتی در ریاضیات و علوم فیزیکی و زیستی است، تجدید چاپ شده است.