آخرین قضیه فرما؛ یادداشتی در حاشیه یک کتاب که ۳۵۸ سال ریاضی‌دانان را بیدار نگه داشت
آخرین قضیه‌ی فرما با وجود صورت ساده‌اش، ۳۵۸ سال بی‌پاسخ ماند تا اینکه اندرو وایلز با ابزارهای نوین ریاضی موفق به اثبات آن شد.
آخرین قضیه‌ی فرما با وجود صورت ساده‌اش، ۳۵۸ سال بی‌پاسخ ماند تا اینکه اندرو وایلز با ابزارهای نوین ریاضی موفق به اثبات آن شد.
در تاریخ علم، هیچ جمله‌ای به اندازه یادداشت یک‌خطی پیر دو فرما در سال ۱۶۳۷، نوابغ جهان را به مرز جنون نکشاند: «من اثبات واقعاً شگفت‌انگیزی برای این موضوع پیدا کرده‌ام، اما حاشیه این صفحه برای نوشتن آن بیش‌ازحد باریک است.»
فرما در آن روزگار گمان نمی‌کرد این یادداشت کوتاه به معمایی ۳۵۸ ساله تبدیل شود؛ تله‌ای که لئونارد اویلر بزرگ را متوقف کرد، جایزه‌های صدهزار مارکی را بی‌نتیجه گذاشت، یک ریاضی‌دان درخشان ژاپنی را تا لبه پرتگاه تراژدی برد و در نهایت اندرو وایلز را مجبور کرد هفت سال مخفیانه و دور از چشم جهان روی آن کار کند.
پیچیدگی اثبات به قدری فراتر از تصور بود که حتی تا سپتامبر ۲۰۲۶، تأیید ماشینی و بی‌نقص تمام جزئیات آن توسط هوش مصنوعی آنتروپیک در زبان Lean، به خلق نزدیک به ۳۰ هزار قضیه میانی نیاز داشت.
سه عدد ۳، ۴ و ۵ را در نظر بگیرید. شما به‌راحتی می‌توانید نشان دهید جمع مربع عدد اول و مربع عدد دوم، مربع سومی را تحویلتان می‌دهد؛ نُه به‌اضافه‌ی شانزده، می‌شود بیست‌وپنج. ساده و تمیز، مثل شعبده‌ای که رازش را از قبل می‌دانیم.
حالا فقط تغییر کوچکی می‌دهیم، به‌جای مربع، مکعب اعداد را حساب می‌کنیم. می‌توانید سه عدد طبیعی پیدا کنید که مکعب دوتایشان روی هم، مکعب سومی را بسازد؟ اگر کاغذ و ماشین‌حساب بردارید و تا صبح عددهای مختلف را امتحان کنید؛ امروز با اطمینان می‌دانیم دست خالی برمی‌گردید. برای توان چهار، پنج و حتی صد هم همین داستان تکرار می‌شود.
صورت مسئله را هر دانش‌آموزی به‌راحتی درک می‌کند؛ ولی حل‌کردنش ۳۵۸ سال زمان می‌خواست، نسل‌به‌نسل، نابغه‌ها را به چالش کشید و در پایان به ابزارهایی نیاز داشت که در روزگار طرح مسئله فراتر از خیال هر ریاضی‌دانی بودند.
سال ۱۹۶۳ در شهر کمبریج، پسری ده‌ساله به‌نام اندرو وایلز در راه برگشت از مدرسه، مثل خیلی از روزها سری به کتابخانه‌ی خیابان میلتون زد. میان قفسه‌ها نظرش به کتابی با عنوان وسوسه‌انگیز «آخرین مسئله» جلب شد. اریک تمپل بل، نویسنده‌ی کتاب، داستان معمایی را تعریف می‌کرد که سه قرن تمام بزرگ‌ترین ذهن‌های ریاضی را سرگرم خود کرده بود.
وایلز سال‌ها بعد در گفت‌وگو با BBC تعریف کرد که سادگی مسئله، او را میخکوب کرد؛ معمایی که یک بچه‌ی ده‌ساله کامل درکش می‌کرد و همه‌ی غول‌های تاریخ ریاضی در برابرش کم آورده بودند. همان موقع با خود گفت روزی حلش خواهد کرد.
وایلز احتمالا آن روز همان کنجکاوی را تجربه کرد که اغلب مردم وقتی اولین‌بار مسئله را می‌خوانند، حس می‌کنند. سی سال بعد، او جلوی تخته‌ای در همین شهر ایستاد و جهان ریاضی را شگفت‌زده کرد؛ ولی برای فهمیدن اینکه چرا حل‌کردن چنین مسئله‌ی ساده‌ای تا این حد سخت از آب درآمد، باید سفری طولانی کنیم؛ از لوح‌های گِلی بابل تا حاشیه‌ی کتابی در فرانسه‌ی قرن هفدهم و از آنجا تا اتاقی زیرشیروانی در پرینستون.
معادله‌ای که در کلاس دبیرستان دیدیم، قدمتی بسیار بیشتر از فیثاغورس دارد. حدود ۳۸۰۰ سال پیش، کاتبی در بابل روی لوحی گلی جدولی از اعداد حک کرد که امروز با نام «پلیمپتون ۳۲۲» شناخته می‌شود. ستون‌های لوح، سه‌تایی‌هایی را فهرست می‌کنند که در رابطه‌ی a²+b²=c² صدق می‌کنند؛ آن هم نه فقط ۳، ۴ و ۵، بلکه سه‌تایی‌های بزرگی مثل ۱۱۹، ۱۲۰ و ۱۶۹. بابلی‌ها برای ساختن زاویه‌ی قائمه و تقسیم زمین به چنین اعدادی نیاز داشتند.
ریاضی‌دانان بعدها فهمیدند ذخیره‌ی چنین سه‌تایی‌هایی پایان ندارد و شما هم با ترفندی ساده دلیلش را متوجه می‌شوید. هر عدد فرد را به توان دو برسانید و حاصل را به دو عدد پشت‌سرهم بشکنید. ۳ به توان دو می‌شود ۹، یعنی ۴ و ۵؛ سه‌تایی ۳، ۴، ۵ به‌دست می‌آید. ۵ به توان دو می‌شود ۲۵، یعنی ۱۲ و ۱۳؛ سه‌تایی ۵، ۱۲، ۱۳ متولد می‌شود. با ۷ به ۷، ۲۴، ۲۵ می‌رسید و همین‌طور می‌توانید جلو بروید. اعداد فرد تا بی‌نهایت ادامه دارند و سه‌تایی‌ها هم همراهشان.
حالا اگر توان را یک پله بالا ببریم، ماجرا عجیب می‌شود. ۶ به توان سه می‌شود ۲۱۶ و ۸ به توان سه می‌شود ۵۱۲؛ جمعشان ۷۲۸. مکعب ۹ چند می‌شود؟ ۷۲۹. فقط یک واحد فاصله! یا ۹ و ۱۰ را امتحان کنید. مکعب‌هایشان روی هم ۱۷۲۹ می‌شود، یعنی دقیقاً یکی بیشتر از مکعب ۱۲. اعداد انگار تا لبه‌ی جواب پیش می‌آیند و در آخرین لحظه کنار می‌کشند.
برای n برابر ۲، بی‌نهایت جواب در اعداد طبیعی وجود دارد؛ اما برای هر n بزرگ‌تر از ۲، مجموعه‌ی جواب‌ها تهی می‌ماند؛ نه برای مکعب، نه برای توان چهار، نه برای توان یک میلیون.
ادعا ساده به‌نظر می‌رسد؛ اما تفاوت «ده‌ها هزار عدد را امتحان کردم» با «ثابت کردم» در ریاضیات به اندازه‌ی یک دنیاست؛ برای اثبات باید نشان بدهید در میان بی‌نهایت عدد و بی‌نهایت توان، هیچ گوشه‌ای از قلم نیفتاده. کسی که اولین‌بار ادعا کرد چنین اثباتی در دست دارد، مردی بود که ریاضی را فقط برای دل خودش دنبال می‌کرد.
پیر دو فرما روزها در پارلمان تولوز پرونده‌های حقوقی را بررسی می‌کرد و شب‌ها سراغ عشق واقعی‌اش اعداد می‌رفت؛ قاضی محترمی در جنوب فرانسه‌ی قرن هفدهم که ریاضی را بیرون از دانشگاه و فقط برای لذت دنبال می‌کرد و با همین سرگرمی شبانه، هم‌پای پاسکال، پایه‌های نظریه‌ی احتمال را گذاشت و هم‌زمان با دکارت به هندسه‌ی تحلیلی رسید. اریک تمپل بل بعدها لقب «شاهزاده‌ی آماتورها» را به او داد.
فرما عادت عجیبی داشت؛ او کشف می‌کرد، اثبات را برای خودش نگه می‌داشت و در نامه‌هایش ریاضی‌دانان دیگر را به چالش می‌کشید. همکارانش در انگلستان و پاریس گاهی از همین بازی موش‌وگربه کلافه می‌شدند.
فرما ریاضی را فقط برای لذت دنبال می‌کرد، اما یادداشت او در حاشیه‌ی کتاب دیوفانتوس به بزرگ‌ترین معما بدل شد
یکی از کتاب‌های محبوب فرما، ترجمه‌ی لاتین «حساب» دیوفانتوس بود؛ مجموعه‌ای از معماهای عددی که ریاضی‌دانی یونانی در اسکندریه‌ی قرن سوم میلادی نوشته بود. حدود سال ۱۶۳۷، فرما کنار مسئله‌ای درباره‌ی شکستن یک مربع به دو مربع، در حاشیه‌ی کتاب چند خط به لاتین نوشت؛ با این مضمون:
فرما سالِ ۱۶۶۵ درگذشت و پسرش ساموئل، پنج سال بعد نسخه‌ای تازه از کتاب دیوفانتوس را همراه با یادداشت‌های پدر منتشر کرد. ریاضی‌دانان در دهه‌ها و قرن‌های بعد، ادعاهای فرما را یکی‌یکی ثابت کردند. تنها یکی بی‌پاسخ ماند و به‌همین دلیل با نام «آخرین قضیه» شهرت یافت.
آیا فرما واقعا قضیه را ثابت کرده بود؟ او بعدها اثبات جداگانه‌ای برای توان ۴ نوشت و حالت توان ۳ را به‌عنوان چالش برای دیگران فرستاد؛ رفتاری عجیب از کسی که اثبات کلی در جیب دارد. بیشتر مورخان معتقدند احتمالاً فرما در همان شب دچار خطایی شده؛ خطایی که دو قرن بعد، ریاضی‌دانان بزرگی دوباره در دامش افتادند.
ولی اثبات فرما برای توان ۴ زیبایی خاصی دارد و با روشی پیش می‌رود که خودش ابداع کرد؛ یعنی نزول نامتناهی. فرض کنید جوابی برای معادله‌ی توان چهارم وجود داشته باشد. فرما نشان داد از دل هر جواب، جوابی تازه با اعدادی کوچک‌تر بیرون می‌آید؛ از دل آن یکی، جوابی کوچک‌تر و همین‌طور تا ابد.
حالا راه‌پله‌ای را تصور کنید که بی‌پایان پایین می‌رود، در ساختمانی که طبقه‌ی همکف دارد. اعداد طبیعی هم کفی به نام عدد ۱ دارند. پس فرض اول غلط بوده و جوابی در کار نیست.
نتیجه‌ی جانبی اثبات فرما، کار نسل‌های بعد را خیلی ساده‌تر کرد. توان ۸ همان توان ۴ از مربع‌هاست و توان ۶ همان مکعبِ مربع‌ها. پس کافی بود قضیه برای توان ۴ و برای همه‌ی اعداد اول فرد ثابت شود. فقط یک مشکل باقی می‌ماند؛ اعداد اول هم بی‌نهایت‌اند.
لئونارد اویلر، پرکارترین ریاضی‌دان قرن هجدهم، در سال ۱۷۷۰ اثباتی برای توان ۳ ارائه کرد. اثباتش شکافی کوچک داشت که بعدها ترمیم شد؛ اما راه را برای عددهای اول بعدی باز کرد.
قدم بعدی را زنی برداشت که اجازه‌ی تحصیل در دانشگاه به او داده نمی‌شد. سوفی ژرمن در نوجوانی، در روزهای پرآشوب انقلاب فرانسه، شب‌ها زیر نور شمع ریاضی می‌خواند؛ به‌روایت سایمون سینگ، پدر و مادرش گاهی وسایل گرمایش اتاقش را برمی‌داشتند تا شاید دست از مطالعه بکشد.
ژرمن با نام مستعار «موسیو لوبلان» جزوه‌های مدرسه‌ی پلی‌تکنیک را می‌گرفت و تکلیف‌هایش را برای لاگرانژ می‌فرستاد. با همین نام مردانه با گاوس هم مکاتبه کرد و ایده‌ای را با او در میان گذاشت که به‌جای حمله به یک توان خاص، دسته‌ی بزرگی از اعداد اول را هم‌زمان هدف می‌گرفت.
هویت واقعی سوفی ژرمن وقتی فاش شد که ارتش ناپلئون در ۱۸۰۶ به شهر گاوس رسید و ژرمن، نگران از تکرار سرنوشت ارشمیدس، از ژنرالی آشنا خواست مراقب جان او باشد. گاوس در نامه‌ای پرشور از شگفتی‌اش نوشت.
نسل‌به‌نسل ریاضی‌دانان با ابداع روش‌های تازه تلاش کردند قضیه را برای توان‌های مختلف اثبات کنند
در ادامه، دیریکله و لژاندر در سال ۱۸۲۵ توان ۵ و گابریل لامه در سال ۱۸۳۹ توان ۷ را حل کردند. سرعت پیشرفت تقریباً یک عدد اول در هر نسل بود؛ با این حساب، بی‌نهایت نسل لازم می‌شد.
اول مارس ۱۸۴۷، لامه در آکادمی علوم پاریس اعلام کرد به اثبات کامل نزدیک شده است. بلافاصله اوگوستن کوشی، یکی از سرشناس‌ترین ریاضی‌دانان فرانسه، برخاست و گفت خودش هم روی ایده‌ای مشابه کار می‌کند. هر دو برای ثبت حق تقدم، پاکت‌های مهروموم‌شده به آکادمی سپردند و مسابقه آغاز شد.
در همان جلسه، ژوزف لیوویل تردیدی را مطرح کرد که کمتر از سه ماه بعد به حکم قطعی بدل شد. لیوویل نامه‌ای از ارنست کومر در آلمان خواند؛ نقطه‌ی اتکای هر دو اثبات فرو می‌ریخت و کومر سه سال پیش‌تر دلیلش را نشان داده بود.
مشکل به تجزیه‌ی یکتا برمی‌گشت، چیزی که از دوران مدرسه آن را بدیهی می‌پنداریم. عدد ۱۲ فقط یک‌جور به عوامل اول تجزیه می‌شود (۲×۲×۳). لامه برای اثبات، اعداد معمولی را با دستگاه‌های عددی بزرگ‌تری عوض کرده بود که ریشه‌های موهومی در آن‌ها حضور داشتند، و فرض کرده بود قاعده‌ی تجزیه‌ی یکتا آنجا هم برقرار می‌ماند.
کومر نشان داد در بعضی از این دنیاها، یک عدد چند تجزیه‌ی کاملاً متفاوت دارد. نمونه‌اش در دستگاهی که 5-√ را به اعداد اضافه می‌کند:
کومر به شکست بسنده نکرد و مفهومی به‌نام «اعداد ایده‌آل» ساخت تا نظم ازدست‌رفته را برگرداند و با آن، قضیه را برای دسته‌ی بزرگی از اعداد اول ثابت کرد. در میان اعداد اول کوچک‌تر از ۱۰۰، فقط سه عدد ۳۷، ۵۹ و ۶۷ از تور او بیرون ماندند؛ فاصله تا اثبات کامل همچنان بی‌نهایت بود.
پاول ولفسکل، صنعتگر و پزشک آلمانی با علاقه‌ی عمیق به ریاضی، در ۱۹۰۶ درگذشت و در وصیت‌نامه‌اش صدهزار مارک برای اولین اثبات کامل قضیه‌ی فرما کنار گذاشت؛ پولی که در آن روزگار ثروت هنگفتی محسوب می‌شد. انجمن علمی گوتینگن، مدیر جایزه، تا سال ۲۰۰۷ مهلت تعیین کرد.
سایمون سینگ روایتی مشهور درباره‌ی انگیزه‌ی ولفسکل نقل می‌کند: «مردی دل‌شکسته که تصمیم گرفته بود نیمه‌شب به زندگی‌اش پایان دهد، در ساعت‌های انتظار سراغ مقاله‌ی کومر رفت، گمان کرد شکافی در آن یافته است و تا سپیده‌دم چنان غرق محاسبه شد که از تصمیمش منصرف شد.» روایتی زیبا، اما تأییدنشده.
جایزه، سیلی از نامه را راهی گوتینگن کرد و فقط در سال اول صدها اثبات به انجمن رسید. ادموند لاندائو، ریاضی‌دان گوتینگن، برای صرفه‌جویی در وقت کارت‌هایی چاپی آماده کرد که مضمونشان چنین بود: «از ارسال اثبات شما سپاسگزاریم. نخستین اشتباه در صفحه‌ی ... سطر ... قرار دارد.» پیدا کردن شماره‌ی صفحه را به دانشجویانش می‌سپرد.
مسئله‌ی فرما که روزی تفریح آماتورها بود، کم‌کم به بن‌بستی ناامیدکننده تبدیل شد
تورم بعد از جنگ جهانی اول ارزش جایزه را به کسری از مبلغ اولیه رساند و وجهه‌ی مسئله هم کم‌کم رنگ باخت. گاوس خیلی پیش‌تر در نامه‌ای نوشته بود چنین گزاره‌های منفردی برایش جذابیت اندکی دارند، چون خودش هم می‌تواند ده‌ها نمونه از آن‌ها بسازد. تا میانه‌ی قرن بیستم، قضیه‌ی فرما در نگاه بسیاری از ریاضی‌دانان حرفه‌ای به معمایی کنجکاوی‌برانگیز و بن‌بست تبدیل شده بود؛ سرگرمی آماتورها.
اما پاسخ از جایی سر رسید که هیچ‌کس تصورش را هم نمی‌کرد؛ از توکیوی ویران پس از جنگ و از دو ریاضی‌دان جوان که اصلاً به فرما فکر نمی‌کردند.
دانشگاه توکیو در دهه‌ی ۱۹۵۰ هنوز با پیامدهای جنگ دست‌وپنجه نرم می‌کرد. مجله‌های علمی با تأخیر می‌رسیدند و ریاضی‌دانان جوان ژاپنی بیشتر به اتکای خودشان پیش می‌رفتند. یوتاکا تانیاما و گورو شیمورا به‌لطف همین کمبود با هم آشنا شدند.
شیمورا سراغ شماره‌ای از یک مجله‌ی ریاضی در کتابخانه رفت و دید تانیاما امانتش گرفته؛ آن هم برای خواندن همان مقاله‌ای که خودش لازم داشت. شیمورا نامه‌ای مؤدبانه برای تانیاما نوشت و از دل آن نامه، دوستی و همکاری عمیقی شکل گرفت.
ریاضی‌دانان جوان ژاپنی، شخصیت‌های متضادی داشتند؛ شیمورا دقیق و منظم بود و تانیاما شلخته و پر از شهود. شیمورا بعدها گفت دوستش استعدادی خاص در «اشتباه کردن در جهت درست» داشت. در جریان سمپوزیومی در سال ۱۹۵۵، تانیاما ایده‌ای جسورانه مطرح کرد که در سال‌های بعد، با کار شیمورا، به حدسی دقیق تبدیل شد؛ حدسی که دو دنیای به‌ظاهر بی‌ربط ریاضی را به هم پیوند می‌داد.
دنیای اول را با منحنی‌های بیضوی تعریف می‌کنیم. شاید نامشان گمراه‌کننده باشد؛ چون این نام از محاسبه‌ی طول کمان بیضی به ارث رسیده، ولی خود منحنی‌ها شباهت چندانی به بیضی ندارند؛ منحنی بیضوی معادله‌ای از این خانواده است:
ریاضی‌دانان برای شناختن منحنی، جواب‌هایش را در «حساب ساعتی» می‌شمارند؛ همان حسابی که در آن ساعت ۱۰ به‌اضافه‌ی ۵ ساعت می‌شود ۳. برای هر عدد اول یک ساعت جدا می‌سازند و و هر بار می‌شمارند معادله‌ی منحنی چند جواب دارد.
دو جوان ژاپنی در روزگار پس از جنگ، حدسی مطرح کردند که دنیای هندسه و جبر را به هم پیوند می‌زد
برای هر منحنی، دنباله‌ای از اعداد به‌دست می‌آید که ویژگی‌های ریاضی‌اش را بازتاب می‌دهد. این دنباله را اثر انگشت منحنی می‌خوانند؛ چون به ریاضی‌دانان کمک می‌کند منحنی‌ها را از یکدیگر تشخیص دهند و با هم مقایسه کنند.
دنیای دوم، فرم‌های پیمانه‌ای، توابعی با تقارن‌هایی تقریباً باورنکردنی هستند؛ مثل کاشی‌کاری‌ای که می‌توانید بی‌نهایت جور جابه‌جا، وارونه یا کشیده‌اش کنید و باز همان طرح به‌دست بیاید. هر فرم پیمانه‌ای هم فهرست عددی مخصوص خودش را دارد؛ چیزی شبیه DNA.
حدس تانیاما-شیمورا ادعای شگفت‌انگیزی داشت مبنی بر اینکه اثر انگشت هر منحنی بیضوی، دقیقاً با DNA یک فرم پیمانه‌ای منطبق می‌شود. هر منحنی، همزادی در دنیای دیگر دارد. انگار دو قوم دورافتاده با دو زبان کاملاً متفاوت، بی‌خبر از هم، یک کتاب را نوشته باشند.
تانیاما سال ۱۹۵۸ و در ۳۱ سالگی، به زندگی‌اش پایان داد. شیمورا راه را ادامه داد و حدس به‌تدریج از حاشیه به مرکز ریاضیات آمد. ریاضی‌دانان آن‌قدر به درستی‌اش ایمان پیدا کردند که نتایج زیادی را با فرض آن ثابت کردند؛ خانه‌ای چندطبقه روی فونداسیون اثبات‌نشده.
پاییز ۱۹۸۴، در مؤسسه‌ی ریاضی اوبروولفاخ در جنگل سیاه آلمان، گرهارد فرای ایده‌ای عجیب را مطرح کرد. فرض کنید کسی سه عدد a، b و c را پیدا کند که قضیه‌ی فرما را نقض کنند. فرای نشان داد با همین سه عدد می‌شود یک منحنی بیضوی ساخت:
منحنی فرای به‌قدری ویژگی‌های عجیب‌وغریب داشت که به هیولایی ریاضی شبیه بود؛ موجودی که بعید به‌نظر می‌رسید در دنیای فرم‌های پیمانه‌ای همزادی داشته باشد؛ اما استدلال فرای کامل نبود. ژان-پیر سر، ریاضی‌دان برجسته‌ی فرانسوی، شکاف را دقیق صورت‌بندی کرد و در سال ۱۹۸۶ کن ریبت از دانشگاه برکلی شکاف را پر کرد. ریبت تعریف کرده است که گره نهایی را در یک کافه‌ی برکلی و در گفت‌وگو با بری میزور گشود؛ میزور پیشنهادی کوچک داد که همه‌چیز را سر جایش نشاند.
به‌زبان ساده اگر حدس تانیاما-شیمورا درست باشد، منحنی فرای ناممکن می‌شود؛ پس جوابی برای معادله‌ی فرما در کار نخواهد بود. لازم هم نبود کل حدس ثابت شود؛ اثبات آن برای خانواده‌ای خاص به‌نام منحنی‌های «نیمه‌پایدار» کافی بود، چون منحنی فرای عضو همین خانواده‌ست.
معمای سرگرم‌کننده‌ی قرن هفدهمی یک‌شبه به قلب ریاضیات مدرن پیوند خورد؛ اما خبر بد همچنان پابرجا بود؛ بیشتر ریاضی‌دانان، اثبات حدس تانیاما-شیمورا را کاری برای چند نسل بعد می‌دانستند. یکی از آن‌ها، جان کوتس بود؛ استاد راهنمای سابق پسری که روزی در کتابخانه‌ی کمبریج عاشق فرما شده بود.
اندرو وایلز سال‌ها پیش از ماجرای فرای، رؤیای کودکی‌اش را کنار گذاشته بود. وقتی در کمبریج دانشجوی دکترای جان کوتس شد، ریاضی‌دانان حرفه‌ای، فرما را بن‌بستی برای اتلاف عمر می‌دانستند. کوتس او را به‌سمت موضوعی آینده‌دار؛ یعنی منحنی‌های بیضوی برد. وایلز سال‌ها در همین حوزه کار کرد و به یکی از متخصصان برجسته‌اش بدل شد؛ بی‌خبر از اینکه مسیری به‌ظاهر عاقلانه، او را درست به همان جایی می‌برد که از کودکی آرزویش را داشت.
تابستان ۱۹۸۶، وایلز در خانه‌ی دوستی، چای سرد می‌نوشید که میزبان، خبری را تعریف کرد: «کن ریبت، پیوند فرما با حدس تانیاما-شیمورا را ثابت کرده است.» وایلز بعدها گفت در همان لحظه حس کرد مسیر زندگی‌اش عوض می‌شود. معمای فرما حالا به مسئله‌ای جدی و حرفه‌ای تبدیل شده بود، آن هم دقیقاً در تخصص خودش.
اندرو وایلز در پی رویای ده‌سالگی‌اش، هفت سال تمام در سکوت و تنهایی روی اثبات مسئله کار کرد
وایلز تصمیم گرفت کار را مخفیانه پیش ببرد، چیزی که در دنیای علم رایج نبود؛ ولی او دلایل خودش را داشت. هر حرفی درباره‌ی فرما توجه‌ها را جلب می‌کرد و تمرکزش را به هم می‌زد، در ضمن او می‌خواست اگر روزی به مقصد رسید، افتخارش از آنِ خودش باشد.
وایلز تمام کارهای غیرضروری را کنار گذاشت و در اتاق کار زیرشیروانی خانه‌اش در پرینستون مستقر شد. برای اینکه همکارانش به غیبت علمی‌اش شک نکنند، نتایج پژوهش‌های قبلی را ذره‌ذره و با فاصله منتشر می‌کرد. تا سال‌ها تنها محرم رازش همسرش نادا بود؛ وایلز ماجرا را در ماه عسلشان برایش تعریف کرده بود.
مسیر، طولانی و تاریک به نظر می‌رسید. وایلز باید نشان می‌داد هر منحنی بیضوی نیمه‌پایدار، همزادی پیمانه‌ای دارد؛ یعنی بی‌نهایت منحنی را با بی‌نهایت فرم جفت کند. او سال‌ها ابزار جمع کرد، ایده‌ها را آزمود و کنار گذاشت. درسال ۱۹۹۱ روشی تازه از ریاضی‌دانانی به نام کولیواگین و فلاخ به دستش رسید که به نظر می‌رسید قطعه‌ی گمشده‌ی پازل باشد.
اوایل ۱۹۹۳، برای اطمینان از درستی کارش، سرانجام راز را با نیک کاتز، همکارش در پرینستون در میان گذاشت.
وایلز برای حفظ پنهان‌کاری‌اش، ترفندی زیرکانه به‌کار برد. کلاسی تخصصی برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی تعریف کرد با عنوانی بی‌سروصدا و در آن، قدم‌به‌قدم اثباتش را درس داد. دانشجوها که سر از ماجرا درنمی‌آوردند، جلسه‌به‌جلسه کلاس را ترک کردند تا اینکه فقط کاتز روی صندلی ماند. در ماه مه همان سال، وایلز با خواندن مقاله‌ای از بری میزور آخرین قطعه را هم پیدا کرد. اثبات کامل شده بود.
ژوئن ۱۹۹۳، مؤسسه‌ی آیزاک نیوتن در کمبریج همایشی درباره‌ی نظریه‌ی اعداد را میزبانی می‌کرد و برگزارکننده‌اش کسی نبود جز جان کوتس. وایلز قرار بود سه سخنرانی ارائه کند، با عنوانی فنی که هیچ اشاره‌ای به فرما نداشت. شهری که او در ده‌سالگی در کتابخانه‌اش عاشق مسئله شده بود، حالا صحنه‌ی آخر داستان می‌شد.
با هر جلسه، شایعه‌ها قوی‌تر شدند. ریاضی‌دانان حاضر کم‌کم فهمیدند سخنرانی‌ها به کجا می‌رود. روز سوم، ۲۳ ژوئن، سالن پر از جمعیت شد و کسانی دوربین به دست آورده بودند. وایلز در پایان، صورت قضیه‌ی فرما را روی تخته نوشت، رو به جمعیت کرد و آرام گفت: «فکر می‌کنم همین‌جا تمامش کنم.» سالن با تشویقی طولانی منفجر شد.
صبح فردا، خبر روی صفحه‌ی اول روزنامه‌ها رفت. مجله‌ی پیپل نام وایلز را در فهرست جذاب‌ترین چهره‌های سال کنار پرنسس دایانا گذاشت. ریاضی‌دانی گوشه‌گیر از پرینستون، ناگهان به چهره‌ای جهانی تبدیل شده بود.
اثبات وایلز مثل هر اثبات ریاضی دیگری، پیش از انتشار باید از صافی داوری می‌گذشت. دست‌نوشته‌ای حدود ۲۰۰ صفحه‌ای میان شش داور تقسیم شد و بخش حساسش به نیک کاتز رسید؛ همان همراه کلاس خلوت؛ اما حالا اثباتش مشکل کوچکی داشت که همه چیز را به‌هم می‌ریخت. روشی که وایلز از کولیواگین و فلاخ گرفته بود، در یک نقطه‌ی کلیدی آن‌طور که او پنداشته بود، کار نمی‌کرد.
وایلز ابتدا گمان کرد ترمیمش چند روز وقت می‌گیرد. روزها به هفته و هفته‌ها به ماه کشید. شایعه‌ها در دنیای ریاضی پخش شدند و فشار هر روز سنگین‌تر شد. خلوتی که سال‌ها مایه‌ی آرامش بود، حالا به باری کمرشکن تبدیل شده بود؛ او هر قدمش را زیر نگاه کل جهان برمی‌داشت. دسامبر ۱۹۹۳، وایلز با ایمیلی کوتاه رسماً پذیرفت که اثبات مشکل دارد.
کشف ایرادی کوچک اما جدی در اثبات، ماه‌ها تلاش وایلز را تا مرز فروپاشی پیش برد
وایلز اوایل ۱۹۹۴ از ریچارد تیلور، شاگرد سابقش، خواست به پرینستون بیاید و با هم روی حفره کار کنند. ماه‌ها تلاش، نتیجه‌ای در پی داشت که فقط ناامیدی بیشتر بود. تا سپتامبر، وایلز آماده‌ی پذیرش شکست می‌شد.
صبح دوشنبه ۱۹ سپتامبر ۱۹۹۴، وایلز تصمیم گرفت آخرین نگاه را به روش فلاخ بیندازد، فقط برای اینکه بفهمد دقیقاً چرا شکست خورده است. ناگهان چیزی را دید. روشی به‌نام «نظریه‌ی ایواساوا» که سال‌ها پیش کنارش گذاشته بود، دقیقاً همان جایی را پر می‌کرد که روش جدید کم می‌آورد. هیچ‌کدام از دو روش به‌تنهایی کافی نبود؛ اما کنار هم، کامل می‌شدند.
در فیلم مستند وایلز وقتی به این لحظه می‌رسد، صدایش می‌لرزد و چند ثانیه حرف‌زدن برایش سخت می‌شود. تعریف می‌کند آن لحظه چنان زیبا و ساده بود که بیست دقیقه فقط خیره نگاهش کرد، بعد در دپارتمان قدم زد و دوباره برگشت تا ببیند ایده همچنان سر جایش هست. بله، بود.
اکتبر ۱۹۹۴، وایلز دو دست‌نوشته فرستاد؛ نخست اثبات اصلی و دوم مقاله‌ای مشترک با تیلور که حفره را پر می‌کرد. مه ۱۹۹۵، هر دو در مجله‌ی Annals of Mathematics منتشر شدند و تمام یک شماره را به خود اختصاص دادند. ۳۵۸ سال پس از یادداشت حاشیه‌ی کتاب، آخرین قضیه‌ی فرما سرانجام ثابت شده بود.
اثبات وایلز بیش از ۱۰۰ صفحه را پر می‌کند و تعداد ریاضی‌دانانی که همه‌ی جزئیاتش را دنبال می‌کنند، انگشت‌شمار هستند؛ ولی اسکلت ایده با چند تصویر ساده قابل فهم می‌شود.
تصور کنید که وایلز باید ثابت می‌کرد هر منحنی بیضوی نیمه‌پایدار، همزادی پیمانه‌ای دارد. مشکل، بی‌نهایت‌بودن دو طرف ماجرا بود؛ بی‌نهایت منحنی، بی‌نهایت فرم و برای هر کدام فهرستی بی‌نهایت از اعداد. وایلز به‌جای مقایسه‌ی مستقیم دو فهرست بی‌پایان، راه دیگری انتخاب کرد، چیزی مثل نگاه کردن از پشت یک عدسی.
قدم اول؛ سایه‌ی منحنی. فرض کنید هر منحنی را فقط از دریچه‌ی حساب ساعتیِ ۳ ببینید؛ تصویری کم‌جزئیات، مثل سایه‌ی یک جسم روی دیوار. خوشبختانه قضیه‌ای از رابرت لنگلندز و جرالد تانل از قبل وجود داشت که نشان می‌داد سایه‌ی هر منحنی در این دریچه، با سایه‌ی یک فرم پیمانه‌ای جفت می‌شود.
قدم دوم؛ از سایه به جسم. بخش اصلی و نوآورانه‌ی کار وایلز همین‌جا بود. او ثابت کرد اگر سایه‌ها با هم جفت شوند، خود اجسام هم با هم جفت می‌شوند. ریاضی‌دانان این ایده را «بالا بردن» می‌نامند؛ تطابقی که در سطحی ساده برقرار شده، پله‌پله تا تصویر کامل بالا می‌رود. شبیه ردیفی از دومینوها، کافی‌ست اولی بیفتد و نشان بدهید هر قطعه، قطعه‌ی بعدی را می‌اندازد.
قدم سوم؛ ترفند ۳ و ۵. برای بعضی منحنی‌ها، سایه در دریچه‌ی ۳ بیش از حد کم‌رنگ می‌شد و استدلال گیر می‌کرد. وایلز برای این موارد، عدسی را عوض کرد و از دریچه‌ی ۵ نگاه کرد و با یک منحنی کمکی هوشمندانه، دو دریچه را به هم وصل کرد.
حفره‌ی معروف هم دقیقاً در قدم دوم پیدا شده بود؛ در ابزاری که قرار بود دومینوها را پشت سر هم بیندازد.