چرا ریاضیدانان به اثبات چیزهایی که از قبل می دانند ادامه می دهند؟

بسیاری از مسیرها می توانند ما را از طریق ریاضیات به همان راه حل ببرند

در اوایل این ماه، من داستانی نوشتم که چگونه OpenAI سهوا دو نسخه از اثبات مشکل Navier-Stokes را تولید کرده است. می‌توانید جزئیات را در اینجا بخوانید، اما چیزی که در ذهن من ماندگار شد این است که برخی از افراد غیر ریاضی که با آنها در مورد داستان صحبت کردم، با این ایده دست و پنجه نرم کردند که دو اثبات متفاوت برای یک مشکل هر دو می‌توانند درست باشند. این باعث شد به این فکر کنم که چگونه و چرا ریاضیدانان چندین بار چیزها را اثبات می کنند - و وقتی اشتباه می شود چه اتفاقی می افتد.

یکی از چیزهایی که درک آن مهم است این است که اثبات ها مشکل تکلیف نیستند. چند ریاضی‌دان اخیرا این نکته را به من گفته‌اند: از آنجا که تجربه اکثر مردم از ریاضیات در مدرسه شروع می‌شود و به پایان می‌رسد، این تصور وجود دارد که ریاضی‌دانان به سادگی فهرست بزرگی از مسائل را تنظیم می‌کنند و پاسخ‌هایی را می‌نویسند تا توسط نوعی معلم ریاضی کیهانی مشخص شود. اینطور نیست - اثبات راهی برای سازماندهی و توسعه تفکر ریاضی است.

شما می توانید یک اثبات را به عنوان یک سفر، از بیانیه تا نتیجه گیری در نظر بگیرید - و مانند بسیاری از سفرها، مسیرهای زیادی وجود دارد که می توانید برای رسیدن از A به B طی کنید. اینجاست که ما چندین مدرک برای یک مشکل دریافت می کنیم.

این عمل سرزنش کردن، رفتن به جاده ریاضی که هنوز طی نشده است، به دوران باستان برمی گردد. یکی از اولین نمونه ها این جمله است که یک مثلث متساوی الساقین همیشه دو ضلع مساوی و دو زاویه مساوی در قاعده دارد. ارسطو با نوشتن در حدود 350 قبل از میلاد، اثباتی را برای این امر توصیف می کند که شامل کشیدن خطوط از مرکز یک دایره تا محیط آن است - نویسنده اصلی آن اثبات گم شده است. حدود 50 سال بعد، اقلیدس اثباتی را توصیف کرد که فقط به مثلث نیاز دارد، نه دایره.

این امر به طور منظم از یک اختلاف ریاضی در مورد چگونگی تعریف زوایای تشکیل شده بین یک خط مستقیم و یک خط منحنی جلوگیری کرد - سوالی که برای هزاران سال حل نشد، همانطور که اتفاق افتاد.

اقلیدس همچنین در مثال دیگری ظاهر می‌شود که نشان می‌دهد ادامه حمله به مشکلات «حل‌شده» چقدر مفید است. او مدرکی را ثبت کرد که نشان می دهد اعداد اول بی نهایت زیاد است و شما ممکن است آن را در مدرسه یاد گرفته باشید. فرض کنید شما یک لیست متناهی از اعداد اول دارید. اگر همه آنها را با هم ضرب کنید، یک عدد جدید به دست می آورید، P. حالا q = P + 1 را تعریف کنید. اگر q اول باشد، نمی تواند در لیست باشد، زیرا بزرگتر از P است. اگر q نیست، در عوض باید بر یک عدد اول بخش پذیر باشد، همانطور که همه اعداد غیر اول هستند.

اگر عدد اولی که بر آن تقسیم می‌کنیم در لیست بود، باید P را نیز تقسیم کند، اما این باید به این معنی باشد که q - P = 1 را تقسیم می‌کند، که غیرممکن است. در هر صورت، ما یک عدد اول را شناسایی کرده‌ایم که در لیست اصلی نیست.

طبق یک بررسی در سال 2023، آنها اکنون 200 اثبات مختلف برای قضیه اقلیدس دارند، همانطور که شناخته شده است. یکی که به ویژه به دانش ریاضی در آن زمان اضافه شد توسط لئونارد اویلر در سال 1737 منتشر شد، که فرمولی را پیدا کرد که مجموع همه اعداد را به حاصلضرب همه اعداد اول مرتبط می کرد. او همچنین از این برای اشاره به ساختار اعداد اول استفاده کرد - نه تنها تعداد بی نهایت زیاد هستند، بلکه با بالا رفتن از خط اعداد، آنها پراکنده تر می شوند.

فرمول اویلر بیش از یک قرن بعد از برنارد ریمان الهام گرفت تا فرضیه ریمان را مطرح کند، یک سوال عمیق در مورد ساختار اعداد اول که یکی از بزرگترین اسرار حل نشده در ریاضیات امروزی در نظر گرفته می شود – بنابراین ارزش داشت که اویلر یک شکاف دیگر در اقلیدس داشته باشد.

شاید تعجب آور باشد که حتی مواقعی وجود دارد که ریاضیدانان قبل از آشکار ساختن نقصی در استدلال، اثبات های متعددی برای یک قضیه ارائه کرده اند. در سال 1933، ریاضیدان ویلهلم گرونوالد اثباتی را منتشر کرد که نشان می‌داد یک عدد، a، با خاصیت معینی در رابطه با همه اعداد اول، همیشه باید بتواند به‌عنوان یک عدد دیگر، x، به توان nام نوشته شود، بنابراین a = xn. ریاضیدان دوم، جورج واپلس، با استفاده از ریاضیات کمی متفاوت در سال 1942، اثبات جدیدی برای این موضوع ارائه کرد.

اما سپس در سال 1948، Shianghao Wang دریافت که در واقع، این برای 16 صادق نیست، زیرا 16 برابر با x8 برای هیچ x نیست. نتیجه صحیح اکنون به عنوان قضیه گرونوالد وانگ شناخته می شود.

انجام ریاضیات روی ریاضیات

خوشبختانه، محققان حتی ایده سفرهای اثباتی را به صورت ریاضی مطالعه کرده اند. در مقاله‌ای در سال 2022، اسکات ویتری از دانشگاه استنفورد و سایمون دی دیو از دانشگاه کارنگی ملون در پنسیلوانیا اشاره کردند که اگر یک اثبات ریاضی دنباله‌ای از مراحل منطقی باشد، هر کدام با احتمال ناچیزی اشتباه، احتمال اشتباه بودن یک اثبات طولانی به اندازه‌ی کافی وجود دارد. بارها به اندازه کافی پرتاب کنید، تاس به احتمال زیاد روی عدد 1 فرود آید. پس چگونه ریاضیدانان می توانند چیزی را ثابت کنند؟

این جفت نشان می دهد که یک اثبات ریاضی مانند یک شبکه ساختار یافته است، با "حقیقت" که در مسیرهای بین هر مرحله، دقیقا مانند یک سفر، منتقل می شود. با احتمال خطا در هر مرحله، قدرت این حقیقت در مسیرهای طولانی‌تر کاهش می‌یابد. اما شواهد، پیاده‌روی تصادفی در یک عرصه مفهومی نیستند - آنها ساختار دارند و ادعاها اغلب با مسیرهای متعدد تقویت می‌شوند. این ساختار اجازه می دهد تا حقیقت در طول قوی ترین مسیرها منتقل شود، حتی اگر در مسیرهای دیگر شکست بخورد.

به همین دلیل، شبکه تحت چیزی قرار می‌گیرد که این زوج آن را «انتقال فاز معرفتی» می‌نامند، سناریویی که تحت آن می‌توانید از صحت اثبات بسیار مطمئن باشید.

این فقط یک مدل است و لزوما مورد قبول همه ریاضیدانان نیست، اما به نظر من جذاب است. همچنین با آنچه شما به طور طبیعی انتظار دارید مطابقت دارد: هر چه ریاضیدانان برهان بیشتری از یک نتیجه داشته باشند، مسیرهای بیشتری که از A به B حک شده باشد، بیشتر می توانید از صحت آن مطمئن شوید. در عصری که هوش مصنوعی شروع به تولید ریاضیاتی می‌کند که انسان‌ها لزوما آن‌ها را نمی‌فهمند، ممکن است دریابیم که داشتن مسیرهای متعدد به سوی حقیقت، خواه از انسان یا هوش مصنوعی مشتق شده باشد، می‌تواند اعتماد به نفس را در جایی که ممکن است در غیر این صورت دچار عدم قطعیت باشیم، به ارمغان بیاورد.