کدام بی نهایت بزرگتر است؟ تحت قوانین ریاضی جایگزین، یک نقشه دو بعدی ظاهر می شود

توسط ویلیام چان، دانشگاه صنعتی وین

ویرایش شده توسط Swati Mestri، بررسی توسط Robert Egan

این مقاله با توجه به روند و سیاست های ویرایشی Science X بررسی شده است. ویراستاران ضمن اطمینان از اعتبار محتوا، ویژگی های زیر را برجسته کرده اند:

این یکی از سوالات بزرگ ریاضیات است: "بی نهایت" در واقع به چه معناست؟ کدام بی نهایت ها بزرگتر از بقیه هستند؟ آیا می‌توان بی‌نهایت‌ها را مانند پله‌های یک نردبان بی‌پایان در یک ترتیب مرتب کرد، به طوری که برای هر دو تای آن‌ها همیشه بتوانیم بگوییم کدام یک بالاتر از دیگری قرار دارد؟

در قرن بیستم، ریاضیدانان دریافتند که پاسخ به برخی از این سؤالات در اصل غیرممکن است. ویلیام چان از TU Wien اکنون رویکردی متواضع‌تر را در پیش گرفته است: او این الزام را که باید یک سلسله مراتب واضح و واحد از بی‌نهایت‌ها وجود داشته باشد کنار می‌گذارد. و دقیقا با این کار به چیزی قابل توجه می رسد. اگر بی نهایت ها در امتداد یک خط قرار نگیرند، بلکه در یک سیستم دو بعدی قرار گیرند، مشکلات ظاهری ناپدید می شوند و نظم شگفت آور ساده ای پدیدار می شود - نوعی نقشه دو بعدی از بی نهایت ها.

این تحقیق در مجله Proceedings of the National Academy of Sciences منتشر شده است.

چگونه می توان دو عدد را در وهله اول مقایسه کرد؟ خیلی ساده: ما هر عنصر از یک مجموعه را با عنصر دیگری مطابقت می دهیم. اگر پنج گربه و پنج کاسه غذا وجود دارد، می توانیم یک گربه را جلوی هر کاسه قرار دهیم. سپس می دانیم که تعداد گربه ها و تعداد کاسه ها یکسان است. اگر مقداری کاسه باقی بماند، تعداد کاسه ها از گربه ها بیشتر است.

چان از مؤسسه ریاضیات و هندسه گسسته در TU Wien توضیح می دهد: «همان ایده را می توان برای مجموعه های نامتناهی به کار برد. به عنوان مثال، مجموعه اعداد طبیعی به اندازه مجموعه اعداد زوج است.

ممکن است عجیب به نظر برسد، زیرا تنها نیمی از اعداد طبیعی زوج هستند. اما اعداد زوج همه را می توان شماره گذاری کرد: 2 عدد 1 را می گیرد، 4 عدد 2 را می گیرد، 6 عدد 3 را می گیرد و غیره. هیچ عدد زوجی هرگز کنار گذاشته نمی شود.

جورج کانتور ریاضیدان ثابت کرد که همین ترفند برای اعداد واقعی کار نمی کند. مجموعه اعدادی با رقم بی نهایت اعشار را نمی توان در چنین فهرستی قرار داد. این بزرگتر از مجموعه اعداد طبیعی است - حتی اگر هر دو مجموعه بی نهایت باشند.

این منجر به یک سوال اساسی شد که نسل‌های ریاضیدان با آن دست و پنجه نرم کردند: آیا اندازه‌های دلخواه، از جمله اندازه‌های متوسط ​​دلخواه، بی‌نهایت وجود دارد؟ آیا مجموعه ای با عناصر بیشتر از اعداد طبیعی اما کمتر از اعداد واقعی وجود دارد؟

برای بررسی چنین سؤالاتی، ریاضیدانان معمولا به یک چارچوب اساسی به نام نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل، همراه با به اصطلاح بدیهیات انتخاب تکیه می‌کنند. می گوید که اگر مجموعه ای از مجموعه های غیر خالی داشته باشیم، می توانیم از هر کدام یک عنصر را انتخاب کنیم. این ممکن است واضح به نظر برسد: اگر یک کاسه توت فرنگی وجود دارد، البته می توانم یک توت فرنگی از آن بچینم. اما با مجموعه‌های بی‌نهایت، و بدون قانون صریح که به ما می‌گوید کدام عنصر را انتخاب کنیم، دیگر واضح نیست که چنین «عملکرد انتخاب» باید وجود داشته باشد.

اصل انتخاب این امکان را فراهم می‌کند که مجموعه‌های بی‌نهایت را بر اساس اندازه مرتب کنیم - بی‌نهایت یکی پس از دیگری، مانند پله‌های یک نردبان بی‌نهایت طولانی. سپس می‌توانیم بپرسیم: اگر اولین پله با بی‌نهایتی اعداد طبیعی - کوچک‌ترین بی‌نهایتی که می‌شناسیم - مطابقت داشته باشد، بی‌نهایتی اعداد حقیقی روی کدام پله ظاهر می‌شود؟ در مورد بعدی؟ یا خیلی بالاتر؟

پس از دهه‌ها تحقیق، به این سوال پاسخ داده شد - اما نه آنطور که ریاضیدانان انتظار داشتند. نشان داده شد که در درون بدیهیات معمول ریاضی - نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل همراه با اصل انتخاب - به این سوال نمی‌توان پاسخ داد. قواعد اساسی عمومی پذیرفته شده ریاضیات پاسخی را تعیین نمی کند.

اما اگر اصل انتخاب را کنار بگذاریم چه اتفاقی می افتد؟ چان پرسید. در انجام این کار، او از ایده های توسعه یافته در دهه 1960 استفاده کرد. قبلا نشان داده شده بود که به جای اصل انتخاب، می توان با اصل تعین کار کرد - یک نوع متفاوت از اصل قاعده مندی که با اصل انتخاب ناسازگار است.

اصل تعین می گوید که اگر دو بازیکن در یک فرآیند بی نهایت طولانی از قوانین خاصی پیروی کنند و با هم دنباله ای نامتناهی از اعداد تولید کنند، در این صورت یکی از آنها باید همیشه استراتژی داشته باشد که به آنها اجازه دهد نتیجه بازی را تحمیل کنند. این ممکن است تا حدودی فنی تر و کمتر شهودی از اصل انتخاب باشد، اما ساختار ریاضی را نیز ارائه می دهد.

در یک سیستم ریاضی مبتنی بر اصل تعین به جای اصل انتخاب، می توان بررسی کرد که چگونه مجموعه های بی نهایت جدید از مجموعه های نامتناهی دیگر پدید می آیند.

یک ساختار معمولی این است که همه نگاشتهای ممکن را از یک مجموعه به مجموعه دیگر در نظر بگیرید. برای مثال، اعداد واقعی را می توان بر حسب اعدادی با تعداد بی نهایت اعشار در نظر گرفت. در هر موقعیت اعشاری، 10 رقم ممکن وجود دارد، از 0 تا 9، و بی نهایت تعداد این موقعیت ها وجود دارد. بنابراین ما به طور مکرر یکی از 10 رقم را انتخاب می کنیم، یک بار برای هر عدد طبیعی. از این نظر، اعداد واقعی از انتخاب های بی نهایت زیادی در بین 10 احتمال ناشی می شوند. به طور نمادین، 10 به توان الف-صفر، کاردینالیته پیوستار را نشان می دهد.

به جای گرفتن مجموعه محدود 10 رقمی و رساندن آن به توان بی نهایت، می توان یک مجموعه نامتناهی را به توان مجموعه نامتناهی دیگر نیز برد. بی‌نهایت نگاشت‌های ممکن بین آنها، بی‌نهایت‌های جدیدی را تعریف می‌کنند.

چان اکنون پرسید: اگر سعی نکنیم همه این بی نهایت ها را در یک دنباله واحد قرار دهیم، بلکه آنها را در یک طرح دو بعدی، مانند نقاط روی نقشه، مرتب کنیم، چه؟

بگذارید A، B، C و D بی نهایت های مختلف باشند. آیا می توانیم A را با توان B و C را با توان D مقایسه کنیم؟ چان می گوید بستگی دارد. اگر A بزرگتر از C و B بزرگتر از D باشد، مقایسه ساده است: A به توان B بزرگتر است.

اما چه اتفاقی می‌افتد اگر چیزی کوچک‌تر را با چیزی بزرگ‌تر با چیزی بزرگ‌تر را با چیزی کوچک‌تر مقایسه کنیم؟ کدام یک بزرگتر است؟

پاسخ چان این است: این دو اندازه اصلا نیازی به مقایسه ندارند. هیچ ترتیب خطی واحدی از این بی‌نهایت‌ها وجود ندارد - آنها باید با استفاده از دو مختصات توصیف شوند. A و B یک نقطه را در نقشه بی نهایت ها تعریف می کنند. C و D دیگری را تعریف می کنند.

و به طور قابل توجهی، هنگامی که ایده یک "نردبان بی نهایت" کنار گذاشته می شود، جبر بی نهایت ها ناگهان به طرز شگفت آوری ساده می شود و ساختاری غنی را نشان می دهد. نتایجی که قبلا در مورد بی‌نهایت‌ها شناخته شده‌اند، می‌توانند بدون ایجاد تضاد در این نقشه گنجانده شوند. همه اینها زمانی ممکن می شود که اصل انتخاب - و همراه با آن ایده یک نردبان جهانی از بی نهایت ها - کنار گذاشته شود.

آیا این معمای قدیمی اندازه مجموعه های بی نهایت را حل می کند؟ احتمالا برای مدت زمان زیادی نه. چان می‌گوید: «اما این یک روش جدید به‌طور قابل‌توجهی ساده و پربار برای تفکر در مورد نحوه سازماندهی مجموعه‌های بی‌نهایت است.

ویلیام چان، فرضیه ABCD، مجموعه مقالات آکادمی ملی علوم (2026). DOI: 10.1073/pnas.2621223123

اطلاعات مجله: مجموعه مقالات آکادمی ملی علوم

سواتی مستری دارای مدرک لیسانس در مهندسی الکترونیک است و از سال 2019 به عنوان ویرایشگر محتوا کار کرده است. او ویرایش اسناد تحقیقاتی در زمینه فناوری، مراقبت های بهداشتی و علم مواد را تجربه کرده است و علاقه خاصی به فناوری و فضا دارد. نمایه کامل →

لیسانس زیست شناسی ریاضی، کارشناسی ارشد در نوشتن خلاق. خوش سفر با دیدگاه های منحصر به فرد در علم و زبان. نمایه کامل →